运动学

在三維空間裏，詳細設定一個點P的位置需要完成三件事，找到參考點O（通常稱為原點）、給出從點O到點P的距離、給出從點O到點P的直線方向；缺少其中任何資料，都會使得位置的描述不完全。[註 1]

將上述的資料數學化，用向量來描述位置。首先，為了要能夠一致地表示距離或方向，必須選擇一個三維坐標系，設定坐標系的原點O為參考點，以三維坐標系為參考系。這樣，位置向量的大小就是點P離參考點的距離，而位置向量的方向就是從參考點到點P的直線方向。

質點的位置向量是從參考系的原點到質點的位置的向量。這向量表達了從原點到質點位置的距離和方向。在三維空間裏，點P的位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 表達為

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ ；

其中，${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle y}$ 、${\displaystyle z}$ 分別為點P的直角坐標。

位置向量 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 的大小是點P與原點之間的距離：

${\displaystyle |\mathbf {r} |={\sqrt {x^{\ 2}+y^{\ 2}+z^{\ 2}}}}$ 。

從不同的參考系觀測點P的位置，可以得到不同的位置向量。

從某參考系觀測，假若質點的位置向量隨著時間的演進而改變，則稱此質點處於「移動狀態」；假若質點的位置向量保持不變，則稱此質點處於「靜止狀態」。請注意，不論是移動狀態或是靜止狀態，都依賴選擇的參考系而定。對於某參考系，處於靜止狀態的質點，對於另一個參考系，可能處於移動狀態。所以，移動狀態或靜止狀態都不是絕對的，都跟選擇的參考系有關。例如，假設在一輛移動中的火車內部有一位乘客。相對於火車，這乘客處於靜止狀態；但相對於火車外面的山嶺，這乘客處於移動狀態。

一個質點的移動「路徑」是從初始點移動到終極點所經過的軌跡。假設這初始點就是終結點，而移動時，其它每一個經過的點都只經過一次，則稱此路徑為「閉合迴路」。

路徑的樣子與參考系的選擇有關。對於某參考系，路徑可能是直線；對於另一個參考系，同樣的路徑可能是曲線。

位移向量与路径距离之間的关系：位移向量的大小是距离的最小值

位移向量表達兩點之間位置的向量差。它可以表達一個質點在某時間間隔內由於運動而造成的位置改變。假設，點P的位置為 ${\displaystyle \mathbf {r} _{P}=(x_{P},y_{P},z_{P})}$ ，點Q的位置為 ${\displaystyle \mathbf {r} _{Q}=(x_{Q},y_{Q},z_{Q})}$ ，則從點Q到點P的位移 ${\displaystyle \mathbf {r} _{P/Q}}$ 為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P/Q}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}=(x_{P}-x_{Q},y_{P}-y_{Q},z_{P}-z_{Q})}$ 。

位移向量的大小是點P與點Q之間的最短距離。位移向量與位置向量不同，位移向量不會因為選擇不同的參考系而改變。但是，在相對論裏，假設兩個參考系的相對速度不為零，則分別從這兩個參考系測量得到的位移向量也不相等。 距離是一種純量，表達一個質點從某一位置移動到另外一位置，所經過的路徑的長度。例如，一部跑車從初始點行駛到終結點，一共行駛了10公里距離的路程。但是，假若這路程是個閉合迴路，初始點與終結點相同，則這跑車的最終位移的大小（徑向距離）是０，這跑車最終回到了初始點。

假設質點的位置是時間的函數，${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$ ，則從時間 ${\displaystyle t_{1}}$ 到時間 ${\displaystyle t_{2}}$ ，這質點所移動的距離 ${\displaystyle s}$ 為

${\displaystyle s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}|\mathrm {d} \mathbf {r} |=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm {d} s=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} t}$ 。

這方程式應用到一個論據：在一段無窮小時間間隔內，位移的大小等於經過的路徑的長度。這論據類似於幾何論據：曲線的一段無窮小曲弧與對應這曲弧的直弦重疊在一起。

平均速度是在一段時間間隔內的速度的平均值，以方程式定義為

${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}={\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}}$ ；

其中，${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}}$ 是平均速度，${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$ 是質點的位移，${\displaystyle \Delta t}$ 是時間間隔。

由於時間間隔 ${\displaystyle \Delta t}$ 大於零，平均速度 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}}$ 與位移 ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$ 同向。

速度是一種向量，表達隨著時間的演進而發生的位移改變。瞬時速度定義為，當 ${\displaystyle \Delta t}$ 變得越來越小時，平均速度 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}}$ 的極限值。注意到，在這裏，${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$ 與 ${\displaystyle \Delta t}$ 都會趨向於零，但是它們的比例 ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} }}}$ 會趨向於非零極限 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ：

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {def}{=}}\ \lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

以微分形式定義，速度是位移對於時間的導數。由於無窮小位移 ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} }$ 正切於實際路徑，速度也正切於實際路徑。

速率 ${\displaystyle v}$ 是速度的數值大小，是一種純量：

${\displaystyle v=|\mathbf {v} |=\left|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right|={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$ 。

一個質點移動所經過的路徑距離是一種單調遞增物理量。因此，${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$ 是個非負數，速率是個非負數。

平均加速度是在一段時間間隔內的加速度的平均值，以方程式定義為

${\displaystyle {\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}}$；

其中，${\displaystyle {\overline {\mathbf {a} }}}$ 是平均加速度，${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$ 是質點在微小時間間隔 ${\displaystyle \Delta t}$ 內的微小速度改變。

加速度是一種表達質點移動速度隨著時間的演進而改變的向量。瞬時加速度定義為當 ${\displaystyle \Delta t}$ 趨向於零時，平均加速度的極限值，以方程式表達，

${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {def}{=}}\ \lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

以微分形式定義，加速度是速度對於時間的導數。

上述速度和加速度的定義式可以逆反過來，以積分形式表達為

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {a} (t)\ \mathrm {d} t}$ 、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=\mathbf {r} _{0}+\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {v} (t)\ \mathrm {d} t\\&=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+\int _{t_{0}}^{t}\left[\int _{t_{0}}^{t}\mathbf {a} (t)\mathrm {d} t\right]\ \mathrm {d} t\\\end{aligned}}}$；

其中，${\displaystyle t_{0}}$ 是初始時間，${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ 是初始速度，${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ 是初始位置。

假設，已知質點P、質點Q對於某參考點G的相對運動，應用向量代數，就可以描述質點P對於質點Q的相對運動。假設，從某參考系觀測，質點P、質點Q、參考點G的位置分別為 ${\displaystyle \mathbf {r} _{P}}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} _{Q}}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} _{G}}$ ，則質點P、質點Q對於參考點G的相對位置分別為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{G}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {r} _{Q/G}=\mathbf {r} _{Q}-\mathbf {r} _{G}}$ 。

質點P對於質點Q的相對位置為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P/Q}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}=\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{G}-\mathbf {r} _{Q}+\mathbf {r} _{G}=\mathbf {r} _{P/G}-\mathbf {r} _{Q/G}}$ 。

換句話說，質點P對於參考點G的相對位置為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}=\mathbf {r} _{P/Q}+\mathbf {r} _{Q/G}}$ 。

上述這些位移關係式，通過取時間導數，可以得到速度關係式：

${\displaystyle \mathbf {v} _{P/Q}=\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}}$ 。

取時間導數於這些速度關係式，可以得到加速度關係式：

${\displaystyle \mathbf {a} _{P/Q}=\mathbf {a} _{P}-\mathbf {a} _{Q}}$ 。

特別注意，當速度接近光速時，上述這些位移關係式或速度關係式並不正確，必須改用狹義相對論推導出的關係式計算。

在直线运动中，質點沿着直线移动。如果将一个一维坐标系的坐标轴放在这直线上，那麼，就可以用其坐标来設定位置，从而计算出速度和加速度等等。假设，在时间是 ${\displaystyle t}$ 时，質點P的位置是 ${\displaystyle x}$ ；经过 ${\displaystyle \Delta t}$ 时间间隔后，时间是 ${\displaystyle t+\Delta t}$ ，質點P的位置是 ${\displaystyle x+\Delta x}$ 。那麼，位移是 ${\displaystyle \Delta x}$ 。質點P的平均速度 ${\displaystyle {\overline {v}}}$ 和瞬时速度 ${\displaystyle v}$ 分别为∶

${\displaystyle {\overline {v}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}}$ 、

${\displaystyle v=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}}$ 。

質點P的平均加速度 ${\displaystyle {\overline {a}}}$ 和瞬时加速度 ${\displaystyle a}$ 分别为：

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$ 、

${\displaystyle a=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$ 。

假設，質點P的位置是時間的函數 ${\displaystyle x=x(t)}$ ，則其速度、加速度分別為

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$ 、

${\displaystyle a(t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ 。

等速直线运动的加速度是零，速度 ${\displaystyle v}$ 是常数，位置是

${\displaystyle x_{f}=x_{i}+vt}$ ；

其中，${\displaystyle x_{i}}$ 是初始位置，${\displaystyle x_{f}}$ 是终结位置。

等加速直线运动的加速度 ${\displaystyle a}$ 是常数，位移与速度分別是

${\displaystyle x_{f}-x_{i}=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}$ 、

${\displaystyle x_{f}-x_{i}={\frac {1}{2}}(v_{f}+v_{i})t}$ 、

${\displaystyle v_{f}=v_{i}+at}$ 、

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})}$ ；

其中，${\displaystyle x_{i}}$ 是初始位置，${\displaystyle x_{f}}$ 是终结位置，${\displaystyle v_{i}}$ 是初始速度，${\displaystyle v_{f}}$ 是终结速度。

思考一个向上发射的物体；它将会往上直升，然后又落回到地面；它的軌跡全部都包含於同一条直线。假若认定朝上的方向为正值，那麼，这物体将会体验到 -9.81m/s²的等加速度。这物体的运动是等加速直线运动。

现在，請问几个关于這运动的有趣的问题：这物体会在空中运动多久时间？在它开始往下落以前，它会升到多高？当它碰到地面时，它的最终速度是多少？輸入实际的数值，假设物体的最初速度是 +50 m/s。

它会在空中多久时间？ 應用位移公式来計算时间：

${\displaystyle x_{f}=x_{i}+v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}}$

因为这物体先飞离开地面，然后又落回到地面，净位移是零：

${\displaystyle 0=v_{i}t+{\frac {1}{2}}at^{2}=t(v_{i}+{\frac {1}{2}}at)}$

从这程式，可以求解到两个答案。第一个答案是零；虽然这明显解是正确的答案；但是，它代表的时间间隔是那物体开始移动前的时间间隔。离开地面与回到地面所需要的时间為

${\displaystyle t=-{\frac {2v_{i}}{a}}=-{\frac {2*50}{-9.81}}=10.2\ s}$

在它开始往下落以前，它会飞到多高呢？

当这物体升到最高点的时候，它的速度是零。所以可以應用速度平方公式，

${\displaystyle v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})}$

假設以地面为座标系统的原点，那麼，${\displaystyle x_{i}}$是零。${\displaystyle x_{f}}$ 则是最高高度：

${\displaystyle x_{f}={\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{2a}}+x_{i}={\frac {0-50^{2}}{2*-9.81}}+0=127.55\ m}$

当它碰到地面时，它的最终速度会是多少？

正当这物体从最高点往回落的时候，它的速度是零。因此，可以同样的用速度平方公式。带进 ${\displaystyle x_{i}}$ 的数质 127.55m：

${\displaystyle v_{f}={\sqrt {v_{i}^{2}+2a(x_{f}-x_{i})}}={\sqrt {0^{2}+2(-9.81)(0-127.55)}}=50\ m/s}$

注意到初始速度与最终速度是等值的。这结果跟能量守恒定律相符合。

質點随时间演进而移动的曲线运动

定义質點在空间中沿着曲线的運动为「曲线运动」。曲线运动的位置、速度、加速度等等，皆须用向量来表示。参考右图，假设質點在时间 ${\displaystyle t}$ 的位置是 ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ；在间隔 ${\displaystyle \Delta t}$ 时间后，位移是 ${\displaystyle \Delta \mathbf {r} }$ 、位置是 ${\displaystyle \mathbf {r} (t+\Delta t)}$ ，则質點的速度是

${\displaystyle \mathbf {v} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

在 ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ 极限得到的速度向量，正切曲线于質點的位置。

定义速率为速度的大小。假设这曲线从 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 到 ${\displaystyle \mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} }$ 的路径长度是 ${\displaystyle \Delta s}$ ，则速率为

${\displaystyle v={\begin{vmatrix}\mathbf {v} \end{vmatrix}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$ 。

假设質點在间隔 ${\displaystyle \Delta t}$ 时间的速度差是 ${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$ ，则加速度是

${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

求解曲线运动问题时，选择合适的坐标系是一项非常重要的步骤。运动所遭遇到的约束、或作用力的几何特性，往往是决定合适坐标的主要因素。假设，限制一粒串珠只能绕圆环移动，那麼，以圆心为顶点，包含串珠与圆环的另一点的角，其角弧可能是合适的坐标。类似地，假设施加於質點的作用力是连心力，則合适的坐标系可能是极坐标系。

直角坐標系。x-軸的方向是親近讀者。

三维空间的直角坐标系有三个坐标轴：x-轴、y-轴、z-轴。采用直角坐标系，位置、速度、加速度表示为

${\displaystyle \mathbf {r} =x{\hat {\mathbf {x} }}+y{\hat {\mathbf {y} }}+z{\hat {\mathbf {z} }}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+v_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+v_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+a_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+a_{z}{\hat {\mathbf {z} }}}$ ；

其中，${\displaystyle x}$ 、${\displaystyle y}$ 、${\displaystyle z}$ 分别是質點的位置的三个分量，速度和加速度的三个分量分别为

${\displaystyle v_{x}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\ \ ,\qquad \qquad v_{y}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\ \ ,\qquad \qquad v_{z}={\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}}$ ，

${\displaystyle a_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}\ ,\qquad \qquad a_{y}={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}\ ,\qquad \qquad a_{z}={\frac {\mathrm {d} v_{z}}{\mathrm {d} t}}}$ 。

在極點為O、極軸為L的极坐标系裏，點 ${\displaystyle (3,60^{\circ })}$ 、點 ${\displaystyle (4,210^{\circ })}$ 的坐標分別以綠色、藍色展示。

在二维空间裡，极坐标系用半径坐标 ${\displaystyle r}$ 、角坐标 ${\displaystyle \theta }$ 来表示質點的位置。半径坐标是極點与質點的直线距离；角坐标是極點与質點的连线对於极轴的角弧。位置、速度、加速度分别表示为

${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ 、

${\displaystyle \mathbf {a} =({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ ；

其中，${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ 是半径单位向量，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ 是角单位向量。

質點的「角位置」就是它的角坐标 ${\displaystyle \theta }$ ，「角位移」 ${\displaystyle \Delta \theta }$ 则是質點在运动时前後角位置的差值，角速度的大小 ${\displaystyle \omega }$ 是角位置對於时间的导数 ${\displaystyle \omega ={\dot {\theta }}}$ ，角加速度的大小 ${\displaystyle \alpha }$ 是角速度對於时间的导数：

${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}={\ddot {\theta }}}$ 。

類似等加速直线运动，假設曲線运动的角加速度 ${\displaystyle \alpha }$ 是常数，則角位移与角速度分別是

${\displaystyle \theta _{f}-\theta _{i}=\omega _{i}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}}$ 、

${\displaystyle \theta _{f}-\theta _{i}={\frac {1}{2}}(\omega _{f}+\omega _{i})t}$ 、

${\displaystyle \omega _{f}=\omega _{i}+\alpha t}$ 、

${\displaystyle \omega _{f}^{2}=\omega _{i}^{2}+2\alpha (\theta _{f}-\theta _{i})}$ ；

其中，${\displaystyle \theta _{i}}$ 是初始角位置，${\displaystyle \theta _{f}}$ 是终结角位置，${\displaystyle \omega _{i}}$ 是初始角速度，${\displaystyle \omega _{f}}$ 是终结角速度。

如果一个物体不是垂直向上发射，而是与地平面呈 ${\displaystyle \Phi }$ 角度射出，那麼，这物体会按照抛物线軌跡移动，它的水平运动与垂直运动可以各自独立计算。假设，这物体是以最初速率 ${\displaystyle v_{0}=50m/s}$ ，与地平面呈 ${\displaystyle \Phi =30^{\circ }}$ 角度射出。

请问在碰到地面以前，它会在空中飞行多远？

垂直方向，这物体会感觉到 ${\displaystyle -9.81m/s^{2}}$ 加速度；水平方向，不会感觉到有任何加速度。所以，水平位移是

${\displaystyle \Delta x=x_{f}-x_{i}=v_{i}\cos(\Phi )\ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=v_{i}\cos(\Phi )\ t}$

为要解答这问题，必须找到 ${\displaystyle t}$ 值。这是可以做到的，只需分析垂直的运动。假设垂直位移为零，用类似前面直线运动的方法来找 ${\displaystyle t}$ 值：

${\displaystyle 0=v_{i}\sin(\Phi )\ t+{\frac {1}{2}}at^{2}=t(v_{i}\sin(\Phi )+{\frac {1}{2}}at)}$

现在求解 ${\displaystyle t}$ 的表達式，代入原先的水平位移方程式。

${\displaystyle \Delta x=v_{i}\cos(\Phi )\left({\frac {-2v_{i}\sin(\Phi )}{a}}\right)=-{\frac {v_{i}^{2}\sin 2(\Phi )}{a}}=220.70\ m}$

在三維空間內，設定兩個參考系：空間參考系S與旋轉參考系R。空間參考系S的標準正交基為 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ 。旋轉參考系R的標準正交基為 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$ 。兩個參考系的原點共點。空間參考系S靜止不動，旋轉參考系R繞著固定軸 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}={\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$ 旋轉。四個單位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 共平面。這旋轉運動可以簡化為一個二維平面運動。

當計算質點的位置、速度、加速度之時，必須特別注意到旋轉參考系R是在持續地旋轉，單位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 也跟著旋轉。在取這些單位向量對於時間的導數時，必須顧慮到旋轉運動。假設 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}$ 和 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 以角速度 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega {\hat {z}}}$ 繞著 ${\displaystyle {\hat {z}}}$ 旋轉，在初始時間 ${\displaystyle t=0}$ ，

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}={\hat {\mathbf {x} }}}$ 、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}={\hat {\mathbf {y} }}}$ ，

則在時間 ${\displaystyle t}$ ，

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}=\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}}$ 、

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}=-\sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+\cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}}$ 。

兩個單位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}$ 、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 對於時間的導數分別為

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}{\mathrm {d} t}}=-\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}=\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 、

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}-\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}=-\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}$ 。

對於含時向量 ${\displaystyle \mathbf {F} (t)=f_{x}{\hat {x}}+f_{y}{\hat {y}}=F_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+F_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ ，其對於時間的導數為

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)&={\dot {f}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {f}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}\\&={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+F_{x}\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{x}}{\mathrm {d} t}}\right)+F_{y}\left({\frac {\mathrm {d} {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}{\mathrm {d} t}}\right)\\&={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+F_{x}\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{y}-F_{y}\omega {\hat {\mathbf {e} }}_{x}\\&={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} \\\end{aligned}}}$ 。

設定 ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }={\dot {f}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {f}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}}$ 、${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }={\dot {F}}_{x}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {F}}_{y}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 分別為從空間參考系S、旋轉參考系R觀測到的向量 ${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$ 對於時間的導數，上述方程式可以表達為

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$ 。

這方程式的叉積項目可以這樣理解：假設向量 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 的尾部與空間參考系S的原點同點，向量 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 以角速度 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ 繞著固定軸 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ 旋轉，則向量 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 的頭部的速度是 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$ 。

向量 ${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$ 是任意向量，因此可以將 ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 、${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }}$ 當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times }$ 。

假設，從空間參考系S觀測，質點P的位置為

${\displaystyle \mathbf {r} =x_{S}\ {\hat {\mathbf {x} }}+y_{S}\ {\hat {\mathbf {y} }}}$ ，

而從旋轉參考系R觀測，同一質點P的位置為

${\displaystyle \mathbf {r} =x_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{x}+y_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 。

從空間參考系S觀測，質點P的速度 ${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {x}}_{S}\ {\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {y}}_{S}\ {\hat {\mathbf {y} }}}$ 為

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{R}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {v} _{R}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }={\dot {x}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\dot {y}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的速度。

質點P的加速度為

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\\&=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }+\left({\frac {\mathrm {d} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\\&=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }+\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\\&=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }+{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} \\\end{aligned}}}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }={\dot {\omega }}{\hat {\mathbf {z} }}}$ 是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度。

應用算符方程式，

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{R}=\mathbf {a} _{R}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{R}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {a} _{R}\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{R}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {rotate} }={\ddot {x}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\ddot {y}}_{R}\ {\hat {\mathbf {e} }}_{y}}$ 是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度。

總合起來，質點P的加速度 ${\displaystyle \mathbf {a} ={\ddot {x}}_{S}\ {\hat {\mathbf {x} }}+{\ddot {y}}_{S}\ {\hat {\mathbf {y} }}}$ 是[3]

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{R}+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{R}+{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}$ 。

這方程式右手邊第一個項目是從旋轉參考系R觀測到的質點P的加速度項目，第二個是科里奧利力項目，第三個是從空間參考系S觀測到的旋轉參考系R的角加速度項目，第四個是向心力項目。

歐拉旋轉定理表明，在三維空間裏，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必包含這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，這位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉。[2]

剛體平移運動示意圖。

當剛體移動時，它的位置與取向都可能會隨著時間演進而改變。沙勒定理是歐拉旋轉定理的一個推論。根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。[2]因此，剛體運動可分為平移運動與旋轉運動。剛體的現在位置與現在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經過平移與旋轉而成。

如右圖所示，從時間 ${\displaystyle t_{1}}$ 到時間 ${\displaystyle t_{2}}$ ，當剛體在做平移運動時，任意內部兩點，點P與點Q的軌跡（以黑色實線表示）相互平行，線段 ${\displaystyle {\overline {PQ}}}$ （以黑色虛線表示）的方向保持恆定。

挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於點G（稱為「基點」），則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{P}}$ 為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{G}+\mathbf {r} _{P/G}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{G}}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}}$ 分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。

從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，但從空間參考系S觀測，剛體從時間 ${\displaystyle t_{1}}$ 到時間 ${\displaystyle t_{2}}$ 的運動，可以分為基點G從 ${\displaystyle \mathbf {r} _{G}(t_{1})}$ 到 ${\displaystyle \mathbf {r} _{G}(t_{2})}$ 的平移運動，與位移 ${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}}$ 從時間 ${\displaystyle t_{1}}$ 到時間 ${\displaystyle t_{2}}$ 的旋轉運動。

從不同的參考系觀測剛體運動，可能會獲得不同的平移速度和不同的角速度。為了確保測量結果具有實際物理意義，必需先給定參考系。

剛體的平移速度是向量，是其位置向量的時間變化率，是附著於剛體的基點G的速度。對於純平移運動（沒有任何旋轉運動），剛體內部所有點的移動速度相同。假設涉及旋轉運動，則通常剛體內部任意兩點的瞬時速度不相等；只有當它們恰巧處於同一直軸，而這直軸平行於轉動瞬軸，則它們的瞬時速度相等。

角速度也是向量，描述剛體取向改變的角速率，和剛體旋轉時的瞬時轉軸的方向（歐拉旋轉定理保證瞬時轉軸的存在）。在任意時間，剛體內部每一個質點的角速度相同。

假設一剛體呈純旋轉運動，旋轉的角速度為 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ，其附體參考系B也會跟著旋轉，因此，對於任意向量 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ，從這附體參考系B與從空間參考系S觀測，會得到不同的結果。設定 ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 、${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }}$ 分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量 ${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$ 對於時間的導數，則

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$ 。

項目 ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {F} }$ 可以想像為，從空間參考系S觀測，剛體內部位置向量為 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 的質點，由於剛體旋轉而產生的角速度。

向量 ${\displaystyle \mathbf {F} (t)}$ 是任意向量，因此可以將 ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 、${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }}$ 當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times }$ 。

這算符方程式可以作用於任意含時向量。

根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。[2]挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於基點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置 ${\displaystyle \mathbf {r} _{P}}$ 為

${\displaystyle \mathbf {r} _{P}=\mathbf {r} _{G}+\mathbf {r} _{P/G}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {r} _{G}}$ 、${\displaystyle \mathbf {r} _{P/G}}$ 分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。

點P的速度 ${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 為

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{G}+\mathbf {v} _{P/G}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {v} _{G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 、${\displaystyle \mathbf {v} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。

應用前段推導出的適用於任意含時向量的算符方程式，可以計算出${\displaystyle \mathbf {v} _{P/G}}$ 。由於從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，項目 ${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }}$ 等於零：

${\displaystyle \mathbf {v} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {body} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ 是剛體的角速度向量。

所以，點P的速度為

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}=\mathbf {v} _{G}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G}}$ 。

點P的加速度 ${\displaystyle \mathbf {a} _{P}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{P}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 為

${\displaystyle \mathbf {a} _{P}=\mathbf {a} _{G}+\mathbf {a} _{P/G}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {a} _{G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 、${\displaystyle \mathbf {a} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{P/G}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 分別是基點G的加速度、點P對於基點G的相對加速度。

再應用前段推導出的算符方程式，可以計算出

${\displaystyle \mathbf {a} _{P/G}=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }\times \mathbf {r} _{P/G}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{P/G}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} _{P/G}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{P/G})}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\left({\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)_{\mathrm {space} }}$ 是附體參考系B旋轉的角加速度向量。

假若，一個圓柱形物體滾動於平面上，不做任何滑動運動（物體與平面之間，沒有任何滑動摩擦），則這物體的運動稱為「純滾動」，其質心的速度 ${\displaystyle \mathbf {v} _{cm}}$ 必須符合約束條件：

${\displaystyle \mathbf {v} _{cm}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{cm/O}}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ 是旋轉的角速度，${\displaystyle \mathbf {r} _{cm/O}}$ 是從物體與平面的接觸點到物體質心的位移向量。

對於物體在滾動時不傾斜或不轉彎的案例，這約束條件約化為

${\displaystyle v=r_{cm/O}\omega }$ 。

簡單擺的繩子長度保持不變。

當感受到張力的作用時，「無伸縮性繩子」不會因為張力的大小而改變繩子的長度。對於涉及無伸縮性繩子的物理問題，約束條件是繩子長度保持不變[5]。

• 單擺：將一根無伸縮性繩子的一端固定，另外一端繫住一個錘。這就形成了一個簡單擺。在基礎動力學裏，簡單擺問題研究錘的擺動運動跟繩子長度、錘重量之間的關係。
• 溜溜球：在兩片圓盤之間連結的捲軸，繫著一根無伸縮性繩子。這就是古今中外、廣為流行的溜溜球玩具。
• 懸鏈線：將無伸縮性繩子的兩端分別固定於兩點，由於均勻引力作用於繩子的每一部份而形成的曲線形狀稱為懸鏈線[6]。