连通空间

R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的,下面的空间 B 是不连通的。

定义

拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立:

  • X不能表示为两个分離的非空开集并集
  • ∀A⊆X,A≠X或∅,A-∩(X-A)-≠∅。

一个拓扑空间被称为是不连通的,若它不是连通的。

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质,即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射,其中一个空间是连通的,则另一个空间也是连通的。

一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间,不过也有数学家不承认这一点。

连通单元

连通子集
拓扑空间X的子集A称为连通的,当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。
连通单元
拓扑空间的极大连通子集称作连通单元
完全不连通空间
拓扑空间X称为完全不连通空间,当且仅当X的连通单元都是单元素集合。

每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。

连通单元必然是闭的,在够好的空间(如流形、代数簇)上也同时是开的,但并非总是如此。

其它连通性定义

道路连通,弧连通

R² 的这个子空间是道路连通的,因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。
称拓扑空间X是道路连通空间,当且仅当∀x,y∈X,存在连续函数 使得 。若 可取为使得 同胚,则称X为弧连通空间

道路连通空间必定是连通空间,反之不一定。

道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。

局部连通

拓扑空间X称为局部连通的,当且仅当以下叙述之一成立:

  • 空间中的任一点都存在连通的邻域(即该邻域是X的连通子集)。
  • 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。

例子

  • 拓扑学家的正弦曲线:在平面欧几里得空间中定义集合
    。考虑中诱导的子拓扑空间,它是连通的,但不是局部连通的。
  • 有理数:有理数集上的连通单元都是单元素集合,所以有理数集是一个完全不连通空间。

參考文獻

  • Munkres, James R. . Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2.
  • 埃里克·韦斯坦因. . MathWorld.
  • V. I. Malykhin, , Hazewinkel, Michiel (编), , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Muscat, J; Buhagiar, D. (PDF). Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 2006, 39: 1–13 [2011-09-06]. (原始内容 (PDF)存档于2016-03-04)..
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