递归

在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被还原为其基本情况。

例如，下列为某人祖先的递归定义：

• 某人的双亲是他的祖先（基本情况）。
• 某人祖先的双亲同样是某人的祖先（递归步骤）。

斐波那契数列是典型的递归案例：

• ${\displaystyle F_{0}=0}$（初始值）
• ${\displaystyle F_{1}=1}$（初始值）
• 对所有大於1的整数n：${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$（递归定义）

尽管有许多数学函数均可以递归表示，但在实际应用中，递归定义的高开销往往会让人望而却步。例如：

• ${\displaystyle 0!=1}$（初始值）
• 对所有大於0的整数n：${\displaystyle n!=n\times (n-1)!}$（递归定义）

一种便于理解的心理模型，是认为递归定义对对象的定义是按照“先前定义的”同类对象来定义的。例如：你怎样才能移动100个箱子？答案：你首先移动一个箱子，并记下它移动到的位置，然后再去解决较小的问题：你怎样才能移动99个箱子？最终，你的问题将变为怎样移动一个箱子，而这时你已经知道该怎么做的。

如此的定义在数学中十分常见。例如，集合论对自然数的正式定义是：1是一个自然数，每个自然数都有一个后继，这一个后继也是自然数。

以下是另一个可能更有利于理解递归过程的解释：

1. 我们已经完成了吗？如果完成了，返回结果。如果没有这样的终止条件，递归将会永远地继续下去。
2. 如果没有，则简化问题，解决较容易的问题，并将结果组装成原始问题的解决办法。然后返回该解决办法。

这样就有一种更有趣的描述：“为了理解递归，则必须首先理解递归。”或者更准确地，按照安德鲁·普洛特金的解释：“如果你已经知道了什么是递归，只需记住答案。否则，找一个比你更接近侯世达的人；然后让他／她来告诉你什么是递归。”[1]

数学中常见的以递归形式定义的案例参见函数、集合以及分形等。

举例：编写一个程序使用递归求n的阶乘：

Haskell:

fac 0 = 1
fac n = n * fac (n-1)

main = print( fac 10 )

1. 从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？「从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？『从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？……』」
2. 一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓誌銘，让未来的狗可以看到：「一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓誌銘，让未来的狗可以看到：『一只狗来到厨房，偷走一小块面包。厨子举起杓子，把那只狗打死了。于是所有的狗都跑来了，给那只狗掘了一个坟墓，还在墓碑上刻了墓誌銘，让未来的狗可以看到……』」
3. 大雄在房裏，用時光電視看着从前的情況。電視畫面中的那個時候，他正在房裏，用時光電視，看着从前的情況。電視畫面中的電視畫面的那個時候，他正在房裏，用時光電視，看着从前的情況……

謝爾賓斯基三角形-由封閉遞歸的三角形所形成之碎形

遞歸定義集

• 分形
• 差分
• 遞迴關係式
• 塔珀自指公式
• 无限反射镜

• Recursion - tutorial by Alan Gauld
• A Primer on Recursion （页面存档备份，存于）- contains pointers to recursion in Formal Languages, Linguistics, Math and Computer Science
• Google easter for recursion （页面存档备份，存于）