开集

所謂的${\displaystyle n}$維歐式空間，指的是囊括所有实数n-元組${\displaystyle (r_{1},\,\dots ,\,r_{n})}$的集合（記為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$）。 為了定義開集，可以推廣勾股定理，將 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中任兩點${\displaystyle x=(x_{1},\,\dots ,\,x_{n})}$ 與 ${\displaystyle y=(y_{1},\,\dots ,\,y_{n})}$ 的歐式距離定義為：

${\displaystyle d_{n}(x,\,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-y_{i})}^{2}}}}$

然後定義所謂的（${\displaystyle n}$維）開球（open ball）：

${\displaystyle B(a,\,r):={\bigg \{}p\in \mathbb {R} ^{n}\,{\bigg |}\,d_{n}(a,\,p)<r{\bigg \}}}$

也就是直觀上，一個以${\displaystyle a}$為球心，${\displaystyle r}$為半徑但不包含表面的球體。

這樣就可以作如下的定義：

也就是直觀上，取開集 ${\displaystyle O}$ 的任意點 ${\displaystyle x}$ 都有一個以 ${\displaystyle x}$ 為球心的開球完全包含於 ${\displaystyle O}$ 。

只要把上節的歐式距離改成一般的度量，開集的概念很容易推廣到賦距空间${\displaystyle (M,d)}$中。

以下把${\displaystyle (M,d)}$ 中的開球（open ball）定義成：

${\displaystyle B(a,\,\delta ):={\bigg \{}p\in M\,{\bigg |}\,d(a,\,p)<\delta {\bigg \}}}$

這樣就可以作如下的定義：

這的確推廣了歐式空間部分的定義，因為歐式距離 ${\displaystyle d_{n}}$ 和${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$本身就組成了一個賦距空間${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},d_{n})}$。

賦距空間的開集還會有以下的性質：

證明

(1) 對每個${\displaystyle p\in M}$都有${\displaystyle B(p,\,1)\subseteq M}$，所以${\displaystyle M}$是自己的一個開集；另外對所有${\displaystyle p\in M}$都有${\displaystyle p\notin \varnothing }$（直觀上來說沒有點可以當開球的球心），所以邏輯上不用驗證是否有開球包含於${\displaystyle \varnothing }$，就可以得到${\displaystyle \varnothing }$滿足開集的定義 （直觀上來說，前提為假的話，不論結論是否為真，「前提=>結論」都是對的）。${\displaystyle \Box }$ (2) 若${\displaystyle p\in A\cap B}$，依據假設存在${\displaystyle \delta _{A},\,\delta _{B}>0}$ 使得 ${\displaystyle B(p,\,\delta _{A})\subseteq A}$ 且 ${\displaystyle B(p,\,\delta _{B})\subseteq B}$，這樣取 ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{A},\,\delta _{B}\}}$的話，就有${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq A\cap B}$，是故${\displaystyle A\cap B}$也是${\displaystyle M}$ 的開集。${\displaystyle \Box }$ (3) 若${\displaystyle p\in \bigcup {\mathcal {F}}}$，依照聯集的性質，存在 ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 使得 ${\displaystyle p\in O}$ ；但根據假設， ${\displaystyle O\in {\mathcal {F}}}$ 都是 ${\displaystyle M}$ 的開集，換句話說，存在 ${\displaystyle \delta >0}$ 使${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq O}$ ，那因為 ${\displaystyle O\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$，所以有 ${\displaystyle B(p,\,\delta )\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$，是故 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}}$ 也是 ${\displaystyle M}$ 的開集。${\displaystyle \Box }$

事實上這些性質這就是拓扑空间定義的動機。

開集是拓扑空间定義的基石；也就是從任意母集合 ${\displaystyle X}$ 出發，再選取 ${\displaystyle X}$ 的特定的子集族 ${\displaystyle \tau }$ ，規定 ${\displaystyle \tau }$ 中的集合就是開集，这樣的子集族 ${\displaystyle \tau }$ 被叫做 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑：

根據上一節賦距空間的性質，取 ${\displaystyle \tau _{d}}$ 為所有 ${\displaystyle M}$ 的開集所構成的子集族，則 ${\displaystyle (M,\,\tau _{d})}$ 也是一拓撲空間。