ARMA模型

有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）${\displaystyle L}$ 来表示，${\displaystyle L^{i}X_{t}=X_{t-i}}$。这样AR(p)模型可以写成为：

${\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,}$

其中${\displaystyle \varphi }$表示多项式

${\displaystyle \varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,}$

MA(q)模型可以写成为：

${\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,}$

其中θ 表示多项式

${\displaystyle \theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,}$

最后，ARMA(p,q)模型可以表示为：

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

或者

${\displaystyle \varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,}$

若${\displaystyle \varphi (L)=1}$,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若${\displaystyle \theta (L)=1}$,则ARMA过程退化为AR(p)过程。