曼德博集合

若 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$，則 ${\displaystyle c\in {M}}$

假設 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$ 為真

則${\displaystyle |z_{1}|=|c|\leq {\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$

當 ${\displaystyle n=2\,}$ 時

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\leq |c^{2}|+|c|=|c|^{2}+|c|}$

因為 ${\displaystyle |c|\leq {\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle |c|^{2}+|c|\leq {\frac {1}{16}}+{\frac {1}{4}}<{\frac {1}{2}}}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{2}|<{\frac {1}{2}}}$

假設 ${\displaystyle |z_{n}|<{\frac {1}{2}}\,}$ 成立

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\leq |z_{n}|^{2}+|c|<\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}}$

由上式可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|<{\frac {1}{2}}}$

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...)，${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 皆比 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,}$ 小。

當n趨近無限大時 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 依然沒有發散，所以 ${\displaystyle c\in {M}}$，故得證。

若 ${\displaystyle c\in {M}}$，則 ${\displaystyle |c|\leq {2}}$

假設 ${\displaystyle |c|>2\,}$

則 ${\displaystyle |z_{1}|=|c|,|z_{1}|>2\,}$

當 ${\displaystyle n=2\,}$ 時

${\displaystyle |z_{2}|=|z_{1}^{2}+c|=|c^{2}+c|\geq |c^{2}|-|c|=|c|^{2}-|c|}$

由 ${\displaystyle |c|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |c|\,}$ 再減去 ${\displaystyle |c|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |c|^{2}-|c|>2|c|-|c|=|c|\,}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{2}|>|c|\,}$

假設 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$ 成立，則 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$

因為 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$

由 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 再減去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}$

由數學歸納法可得知 ${\displaystyle 2<|{z_{1}}|<|{z_{2}}|<...<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|\,}$，可看出隨著迭代次數增加 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 逐漸遞增並發散。

假如${\displaystyle |z_{n}|\,}$不发散，则收敛于某个常数${\displaystyle a>|c|>2}$,

由${\displaystyle |z_{n+1}|\geq |z_{n}|^{2}-|c|}$ 再取极限得 ${\displaystyle a\geq a^{2}-|c|}$ 即 ${\displaystyle a^{2}-a\leq |c|}$。

又 ${\displaystyle a^{2}-a=a(a-1)\geq a>|c|}$，矛盾，故${\displaystyle |z_{n}|\,}$发散。

所以若 ${\displaystyle |c|>2\,}$，則 ${\displaystyle c\notin {M}}$，故得證。

若 ${\displaystyle c\in {M}}$，則 ${\displaystyle |z_{n}|\leq {2},(n=1,2,...)}$

要證明若 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$，則 ${\displaystyle c\notin {M}}$

首先分別探討 ${\displaystyle |c|>2\,}$ 與 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ 兩種情形

由定理二可知道 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$ 且 ${\displaystyle |c|>2\,}$ 時， ${\displaystyle c\notin {M}}$。

接著要證明 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ 時的情況：

假設 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，因為 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ ，所以 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$ ，而

${\displaystyle |z_{n+1}|=|z_{n}^{2}+c|\geq |z_{n}^{2}|-|c|=|z_{n}|^{2}-|c|}$

因為 ${\displaystyle |z_{n}|>|c|\,}$

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|c|>|z_{n}|^{2}-|z_{n}|\,}$

由 ${\displaystyle |z_{n}|>2\,}$，左右同乘 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 再減去 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 可得到下式

${\displaystyle |z_{n}|^{2}-|z_{n}|>2|z_{n}|-|z_{n}|=|z_{n}|\,}$

由以上可得知 ${\displaystyle |z_{n+1}|>|z_{n}|\,}$

由數學歸納法可得知 ${\displaystyle 2<|{z_{n}}|<|z_{n+1}|<|z_{n+2}|<...\,}$，可看出隨著迭代次數增加 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$ 逐漸遞增並發散。

所以在 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$ 且 ${\displaystyle |c|\leq 2}$ 的情況下也是 ${\displaystyle c\notin {M}}$。

綜合上述可得知不論 ${\displaystyle |c|\,}$為多少

若 ${\displaystyle |z_{n}|>2,(n=1,2,...)\,}$，則 ${\displaystyle c\notin {M}}$，故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷 ${\displaystyle |z_{n}|\,}$是否會發散。

1. 直接利用循环终止时的Repeats
2. 综合利用z和Repeats
3. Orbit Traps