流形

四张图分别把圆的一部分映射到一个开区间，它们合在一起覆盖了整个圆。

圆是除欧几里得空间外的拓扑流形的一个简单例子。考虑一个半径为1，圆心在原点的圆。若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是圆上的点的坐标，则有${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$。

局部看来，圆像一条线，而线是一维的。换句话说，只要一个坐标就可以在局部描述一个圆。例如，圆的上半部，${\displaystyle y}$坐标大于零的部分（右图中黄色的部分），任何一点都可以用${\displaystyle x}$坐标确定。投影映射：

${\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }:(x,y)\mapsto x\,}$

把上半圆映射到开区间${\displaystyle (-1,1)}$。反过来，给定一个${\displaystyle x}$，${\displaystyle (x,{\sqrt {1-x^{2}}})}$就是上半圆的一点：

${\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }^{(-1)}:x\mapsto (x,{\sqrt {1-x^{2}}})\,}$

这样的一个映射${\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }}$就是一个坐标卡（）。它的作用，就是告诉读者“地图”上的一点对应着实际中的哪一点。${\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }}$和它的逆映射都是连续函数甚至是光滑函数，这样的映射也叫做一个（微分）同胚[1]^:4。类似的，也可以为圆的下半部（红），左半部（蓝），右半部（绿）建立坐标卡。

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\phi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\phi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}}$

这四个部分合起来覆盖了整个圆，这四个坐标卡就组成了该圆的一个图册（）。

注意圆上部和右部的重叠部分，也就是位于圆上${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$坐标大于0的四分之一圆弧。两个坐标卡${\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }}$和${\displaystyle \phi _{\mathrm {right} }}$都将这部分双射到区间${\displaystyle (0,1)}$。这样就有一个从${\displaystyle (0,1)}$到它自己的双射${\displaystyle T}$：首先取${\displaystyle (0,1)}$上面一点${\displaystyle a}$（黄色线段右半部分的点）黄色坐标卡的逆映射到达圆上的对应点${\displaystyle (a,{\sqrt {1-a^{2}}})}$，再通过绿色坐标卡映射到${\displaystyle (0,1)}$上:

${\displaystyle T(a)=\phi _{\mathrm {right} }\left(\phi _{\mathrm {top} }^{(-1)}(a)\right)=\phi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)={\sqrt {1-a^{2}}}.}$

映射${\displaystyle T}$称为坐标变换映射（），它告诉读者一张“地图”上的点是如何对应到另一张“地图”上的相应的点，说明了两张地图之间的关系[1]^:5。

圆流形基于斜率的坐标卡集，每个图覆盖除了一点之外的所有点。

上，下，左，右四个坐标卡表明圓是一个流形，但它们不是唯一可以描述圆形的图册。坐标卡除了可以是几何投影，也可以是别的映射，而坐标卡的数量也可以不是四个，只要能够覆盖整个圆就行了。考虑以下两个坐标卡

${\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={y \over {1+x}}}$ 和 ${\displaystyle \displaystyle \phi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={y \over {1-x}}.}$

这里${\displaystyle s}$是过点${\displaystyle (x,y)}$和固定点${\displaystyle (-1,0)}$之直线的斜率。比如右图中，点${\displaystyle (-0.28,0.96)}$和${\displaystyle (-1,0)}$确定的直线（右图黄色直线）斜率是${\displaystyle 1{1 \over 3}}$；点${\displaystyle (0.6,-0.8)}$和${\displaystyle (-1,0)}$确定的直线（右图红色直线）的斜率则是${\displaystyle -{1 \over 2}}$。${\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }}$可以把圆上面除了点${\displaystyle (-1,0)}$以外的点一一映射到实数轴${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$上。${\displaystyle \phi _{\mathrm {plus} }}$则是${\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }}$关于${\displaystyle y}$轴的镜像对称（也就是左右对称），固定点是${\displaystyle (+1,0)}$。${\displaystyle \phi _{\mathrm {minus} }}$的逆映射为

${\displaystyle x={{1-s^{2}} \over {1+s^{2}}},\qquad y={{2s} \over {1+s^{2}}};}$

很容易确认${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$对于所有斜率值${\displaystyle s}$成立。这两个坐标卡提供了圆的又一个图册，其变换映射为

${\displaystyle t={1 \over s}.}$

注意每个坐标卡都缺了一点，对于${\displaystyle s}$是点${\displaystyle (-1,0)}$，对于${\displaystyle t}$是点${\displaystyle (+1,0)}$，所以每个坐标卡不能独自覆盖整个圆。利用拓扑学的工具可以证明，没有单个的坐标卡可以覆盖整个圆；在这个简单的例子裡，已经可以看到流形拥有多个坐标卡的灵活性[1]^:4。

从代数曲线来的四个流形: ■ 圆, ■ 抛物线, ■ 双曲线, ■ 三次曲线.

流形不必连通（整个只有一片）；一对分离的圆可以是一个流形。它们不必是闭的，所以不带两个端点的线段也是流形。它们也不必有限，这样抛物线也是一个流形。

一个流形的一个坐标映射（coordinate map），坐标卡（coordinate chart），或简称卡是一个在流形的一个开子集和一个简单空间之间的双射，使得该映射及其逆都保持所要的结构。对于拓扑流形，该简单空间是某个欧几里得空间Rⁿ（或Rⁿ的某个开子集）而一般感兴趣的是其拓扑结构。这个结构被同胚（homeomorphism）保持，也就是可逆的在两个方向都连续的映射。例如上节提到的映射${\displaystyle \phi _{\mathrm {top} }}$是圆圈的一个卡。卡对于计算极其重要，因为它使得计算可以在简单空间进行，再把结果传回流形。

多数流形的表述需要多于一个的卡（只有最简单的流形只用一个卡）。覆盖流形的一个特定的卡的集合称为一个图册（atlas）。图册不是唯一的，因为所有流形可以被不同的卡的组合用很多方式覆盖。

包含所有和给定图册相一致的卡的图册称为极大图册(maximal atlas)。不像普通的图册，极大图册是唯一的。虽然可能在定义中有用，但这个对象非常抽象，通常不直接使用（例如，在计算中）。

图册中的卡通常会互相重叠，而流形中的一个点可能会被好几个图所表示。如果两个图重叠，它们的部分会表示流形的同一个区域。这些部分之间的关联代表流形上同一点的坐标点的映射，譬如上面圆圈例子中的映射T，称为坐标变换，变换函数，或者转换映射。

图册也可用于定义流形上的附加结构。结构首先在每个卡上分别定义。如果所有变换映射和这个结构相容，该结构就可以转到流形上。

这是微分流形的标准定义方式。如果图册的变换映射对于一个拓扑流形保持Rⁿ自然的微分结构（也就是说，如果它们是微分同胚），该微分结构就传到了流形上并把它变成微分流形。

通常，流形的结构依赖于图册，但有时不同的图册给出相同的结构。这样的图册称为相容的。

该坐标图把球面有正z坐标的部分映射到一个圆盘。

构造一个流形的一个简单方法是在上面的例子中的圆圈的构造方法。首先，确认R²的一个子集，然后覆盖这个子集的图册被构造出来。流形的概念历史上就是从这样的构造发展出来的。这裡有另一个例子，把这个方法应用在球面的构造上:

球面的表面可以几乎和圆圈一样的方法来处理。可把球面视作R³的子集:

${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}|x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}.}$

球面是二维的，所以每个坐标图将映射球面的一部分到一个R²的开子集。例如考虑北半球，它是带正z坐标的部分。（在右图中它着红色）定义如下的函数χ

${\displaystyle \chi (x,y,z)=(x,y),}$

把北半球映射到开单位圆盘，通过把它投影到（x, y）平面。类似的坐标图对南半球也存在。和投影到（x, z）平面的两个坐标图以及投影到（y, z）平面的两个坐标图一起，就得到了一个覆盖整个球面的含6个坐标图的图册。

这可以很容易地扩展到高维的球面。

流形可以通过把碎片以一种相容的方式粘合来构造，使得碎片成为互相覆盖的坐标图。这种构造对于任何流形都是可行的，所以经常作为流形的表述，特别是微分和黎曼流形。它集中于图册的构造，把流形作为坐标图所自然的提供的贴片，因为不涉及外部的空间，这导致了流形的内在的观点。

这裡，流形通过给定图册来构造，图册通过定义转换映射来得到。因此，流形上的一个点可以看成是通过变换映射映到同一个点的坐标点的等价类。坐标图把等价类映射到一个贴片上的点。通常会对变换映射有很强的一致性要求。对于拓扑流形，它们被要求为同胚；如果它们也是微分同胚，最后得到的流形就是微分流形。

这可以通过变换映射圆圈例子的第二部分中的t = ¹⁄_s来解释。从直线的两个拷贝开始。第一个拷贝用坐标s，第二个拷贝用t。现在，通过把第二个拷贝上的点t和第一个拷贝上的点¹⁄_s作为同一个点来粘合起来(点t = 0不和任何第一个拷贝上的点认同)。这就给出了一个圆圈。

第一种构造和这种构造非常相似，但是他们代表了相当不同的观点。在第一种构造中，流形被视为嵌入到某个欧几里得空间中。这是外在的观点。当一个流形用这种方式来看的时候，它很容易通过直觉从欧几里得空间得到附加的结构。例如，在欧几里得空间，很明显某个点的一个向量是否和穿过该点的曲面 相切或者垂直。

贴补构造不用任何嵌入，只是简单把流形看作拓扑空间本身。这个抽象的观点称为内在的观点。这使得什么是切向量更难以想象。但是它表达了流形的本质，在计算上来讲，这可以避免使用更高的维数，例如只要二维而不是三维就可以作球面上的计算。

n维球面Sⁿ可以通过粘合Rⁿ的两个拷贝来构造。他们之间的变换函数定义为

${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}\to \mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\}:x\mapsto x/\|x\|^{2}.}$

这个函数是它自身的逆，因而可以在两个方向使用。因为变换映射是一个光滑函数，这个图册定义了一个光滑流形。

如果取n = 1，就得到了上面圆圈的例子。

很多流形可以定义为某个函数的零点集。这个构造自然的把流形嵌入一个欧几里得空间，因而导向一个外在的观点。这很形象，但不幸的是不是每个流形都可以这样表示。

如果一个可微函数的雅可比矩阵在函数为0的每一点是满秩的，则根据隐函数定理，每个这样的点周围存在一个为0的邻域微分同胚于一个欧几里得空间。因此零点集是一个流形。

n维球面Sⁿ经常定义为

${\displaystyle \mathbf {S} ^{n}:=\{x\in \mathbf {R} ^{n+1}:\|x\|=1\}}$

这等价为如下函数的零点

${\displaystyle x\mapsto \|x\|-1.}$

这个函数的雅可比矩阵是

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}&\ldots &x_{n+1}\end{bmatrix}}}$，

它的秩对于除了原点的所有点为1(对于1×n矩阵就是满秩的)。这证明n维球面是一个微分流形。

可以把流形上的不同点定义为相同。这可以视为把不同的点粘合为同一个点。這構造出的结果不保證是流形，但在有些情况下會是流形。

这些情况下，黏合过程是用群来完成的，这是作用在流形上的群。两个点被视为同一个如果一个能被该群的一个元素移动到另一个上面。如果M是该流形而G是该群，结果空间称为商空间，并记为M/G。可以通过黏合点来构造的流形包括环面和实射影空间（分别从一个平面和一个球面开始）。舉例來說，假設 ${\displaystyle S^{2}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\},H=\{e,g\},e,g:S^{2}\mapsto S^{2},e(x)=x,g(x)=-x,\,\forall x\in S^{2}}$， 則二維實射影空間 ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}=S^{2}/H}$。

流形的直积也是流形。但不是每个流形都是一个积。

积流形的维数是其因子的维数之和。其拓扑是乘积拓扑，而坐标图的直积是积流形的坐标图。这样，积流形的图册可以用其因子的图册构造。如果这些图册定义了因子上的微分结构，相应的积图册定义了积流形上的一个微分结构。因子上定义的其他结构也可以同样处理。如果一个因子有一个边界，积流形也有边界。直积可以用来构造环面和有限圆柱面，例如，分别定义它们为S¹ × S¹和S¹ × [0, 1]。

有限圆柱面是带边界的流形。

两个带边界的流形可以沿着边界粘合。如果用正确的方式完成，结果也是流形。类似的，一个流形的两个边界也可以粘合起来。

形式化的，粘合可以定义为两个边界的一个双射。两个点被认同为一个，如果它们互相映射到对方。对于一个拓扑流形，这个双射必须是同胚，否则结果就不是拓扑流形。类似的，对于一个微分流形，它必须是微分同胚。对于其它流形，其他的结构必须被这个双射所保持。

有限的圆柱面可以作为一个流形构造，先从一个长条R × [0, 1]开始，然后把对边通过适当的微分同胚粘合起来。克莱因瓶可以由一个带孔的球面和一个莫比乌斯带沿着各自的圆形边界粘合起来得到。

从一个竖着的无限圆柱面开始，这是一个无边界的流形。在高和低的地方各剪一刀，产生两个圆形边界，和它们之间的一个圆形的带子。这是一个带边界的可定向流形，若在它上面动一个小"手术"。把带子剪开，使得它能展开成一个矩形，但把两头捏住。把其中一头转180°，把内面翻倒朝外，然后把两头无缝的粘回来。现在有了一个永久半翻转的带子，就是莫比乌斯带。它的边界不再是一对圆圈，而是（拓扑上）单个圆圈；曾经是"内面"的现在和"外面"并了起来，使得它只有"单"面。（在打印机的色带中有这种左扭带的应用。）

嵌入到三维空间的克莱因瓶。

取两个莫比乌斯带；每个都以一个圈为边界。把每个圈拉成一个圆圈，并把带子变成交叉帽（cross-cap）。（注意这在三维空间物理上是不可能的；克莱因瓶不能放到三维空间中，就像莫比乌斯带（或者球面）不能放在平面上一样。实际建造一个克莱因瓶必須在至少四维的空间进行）把圆圈粘合起来会产生一个新的闭合流形，没有边界的克莱因瓶。把曲面闭合起来并不能改变不可定向性，它只是移除了边界。这样克莱因瓶就成了一个不能分辨内外的闭合曲面。

从圆心为原点的球面开始。穿过原点的每条直线在两个相对的点穿透球面。虽然在物理上不能这么做，但在数学上可以把相对点黏合为同一点。这样产生的闭合曲面是实射影平面，為一个不可定向曲面。它有一些等价的表述和构造，但是这个方法揭示了它的名字:所有给定的穿过原点的直线射影到该"平面"的一个"点"。

这里给出一个空间的例子，它满足拓扑流形所有的条件，除了它不是豪斯多夫空间（Hausdorff space）。取两个R的拷贝，把它们写作

${\displaystyle \mathbf {R} \times \{0\}}$ and ${\displaystyle \mathbf {R} \times \{1\}}$,

并定义如下等价关系

${\displaystyle (x,0)\sim (x,1)}$ if ${\displaystyle x\neq 0}$.

从这个等价关系得到的商空间 L 是一个象实直线那样的空间，${\displaystyle \{(x,0)\mid x\in \mathbb {R} \}}$，再加上額外的一點 ${\displaystyle (0,1)}$。特别的是，${\displaystyle L}$ 上的 ${\displaystyle (0,0)}$ 和 ${\displaystyle (0,1)}$ 這兩點不能被不相交的开集所分离，所以L不是豪斯多夫的。它是一个拓扑流形，但不是豪斯多夫拓扑流形。

经常，拓扑流形被定义为必须是豪斯多夫的，在这个定义下，上面的例子不是流形。