PageRank

假设一个由4个網頁组成的集合：A，B，C和D。同一页面中多个指向相同的链接视为同一个链接，并且每个页面初始的PageRank值相同，最初的算法将每个网页的初始值设定为1。但是在后来的版本以及下面的示例中，为了满足概率值位于0到1之间的需要，我们假设这个值是0.25。

在每次迭代中，给定页面的PR值（PageRank值）将均分到该页面所链接的[註 1]页面上。

如果所有页面都只链接至A，那么A的PR值将是B，C及D的PR值之和，即：

${\displaystyle PR(A)=PR(B)+PR(C)+PR(D)}$

重新假设B链接到A和C，C链接到A，并且D链接到A,B,C。最初一個頁面總共只有一票。所以B给A ,C每个页面半票。以此类推，D投出的票有三分之一加到了A的PR值上：

${\displaystyle PR(A)={\frac {PR(B)}{2}}+{\frac {PR(C)}{1}}+{\frac {PR(D)}{3}}}$

换句话说，算法将根据每个页面連出总数 ${\displaystyle L(x)}$平分该页面的PR值，并将其加到其所指向的页面：

${\displaystyle PR(A)={\frac {PR(B)}{L(B)}}+{\frac {PR(C)}{L(C)}}+{\frac {PR(D)}{L(D)}}}$

最后，所有这些PR值被换算成百分比形式再乘上一个修正系数 ${\displaystyle d}$[註 2]。由于“没有向外链接的网页”传递出去的PR值会是0，而这会递归地导致指向它的页面的PR值的计算结果同样为零，所以赋给每个页面一个最小值${\displaystyle (1-d)/N}$：

${\displaystyle PR(A)=\left({\frac {PR(B)}{L(B)}}+{\frac {PR(C)}{L(C)}}+{\frac {PR(D)}{L(D)}}+\,\cdots \right)d+{\frac {1-d}{N}}}$

• 需要注意的是，在Sergey Brin和Lawrence Page的1998年原版论文中给每一个页面设定的最小值是${\displaystyle 1-d}$，而不是这里的${\displaystyle (1-d)/N}$，这将导致集合中所有网页的PR值之和为N（N为集合中网页的数目）而非所期待的1。

因此，一个页面的PR值直接取决于指向它的的页面。如果在最初给每个網頁一个随机且非零的PR值，经过重复计算，这些页面的PR值会趋向于某个定值，也就是处于收斂的狀態，即最终结果。这就是搜索使用该算法的原因。

这个方程式引入了随机浏览者（random surfer）的概念，即假设某人在浏览器中随机打开某些页面并点击了某些链接。为了便于理解，这里假设上网者不断点击网页上的链接直到进入一个没有外部链接的网页，此时他会随机浏览其他的网页（可以与之前的网页无关）。

为了处理那些“没有外部链接的页面”（这些页面就像“黑洞”一样吞噬掉用户继续向下浏览的概率）所带来的问题，我们假设：这类页面链接到集合中所有的网页（不管它们是否相关），使得这类网页的PR值将被所有网页均分。对于这种残差概率（residual probability），我们引入阻尼系数 ${\displaystyle d}$（damping factor），并声明 ${\displaystyle d=0.85}$，其意义是：任意时刻，用户访问到某页面后继续访问下一个页面的概率，相对应的 ${\displaystyle 1-d=0.15}$ 则是用户停止点击，随机浏览新网页的概率。${\displaystyle d}$ 的大小由一般上网者使用浏览器书签功能的频率的平均值估算得到。

所以，对于某个页面i，其对应PR值大小的计算公式如下：

${\displaystyle {\rm {PR}}(p_{i})={\frac {1-d}{N}}+d\sum _{p_{j}\in M(p_{i})}{\frac {{\rm {PR}}(p_{j})}{L(p_{j})}}}$

• 这里，${\displaystyle p_{1},p_{2},...,p_{N}}$是目标页面${\displaystyle p_{i}}$，${\displaystyle M(p_{i})}$是链入${\displaystyle p_{i}}$页面的集合，${\displaystyle L(p_{j})}$是页面${\displaystyle p_{j}}$链出页面的数量，而${\displaystyle N}$是集合中所有页面的数量。

集合中所有页面的PR值可以由一个特殊的邻接矩阵的特征向量表示。这个特征向量R为：

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{bmatrix}{\rm {PR}}(p_{1})\\{\rm {PR}}(p_{2})\\\vdots \\{\rm {PR}}(p_{N})\end{bmatrix}}}$

同时，R也是下面的方程组的解：

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{bmatrix}{(1-d)/N}\\{(1-d)/N}\\\vdots \\{(1-d)/N}\end{bmatrix}}+d{\begin{bmatrix}\ell (p_{1},p_{1})&\ell (p_{1},p_{2})&\cdots &\ell (p_{1},p_{N})\\\ell (p_{2},p_{1})&\ddots &&\\\vdots &&\ell (p_{i},p_{j})&\\\ell (p_{N},p_{1})&&&\ell (p_{N},p_{N})\end{bmatrix}}\mathbf {R} }$

• 这里的邻接函数（adjacency function） ${\displaystyle \ell (p_{i},p_{j})}$ 代表“从页面j指向页面i的链接数”与“页面j中含有的外部链接总数”的比值

如果${\displaystyle p_{j}}$不链向${\displaystyle p_{i}}$，则前面提到的“从页面j指向页面i的链接数”为零。将情况一般化：对于特定的j，应有：

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\ell (p_{i},p_{j})=1,}$

由于上述修改后的邻接矩阵的巨大的eigengap值，几次迭代后即可在极高的精确度下估计PageRank特征向量R的值。