一致连续

一致連續又稱均勻連續，（英語：uniformly continuous），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 $f(\cdot )$ 我們只要在定義域中讓任意兩點 $x$ 跟 $y$ 越來越接近，我們就可以讓 $f(x)$ 跟 $f(y)$ 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於： $f(x)$ 跟 $f(y)$ 之間的距離並不依賴 $x$ 跟 $y$ 的位置選擇。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

设 $(X,d_{1})$ 和 $(Y,d_{2})$ 皆是度量空间，我們說函数 $f:X\to Y$ 一致连续，這代表對任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得定義域中任意兩點 $x,y$ 只要 $d_{1}(x,y)<\delta$ ，就有 $d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon$ 。

当 $X$ 和 $Y$ 都是實數的子集合， $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 為絕對值 $|\cdot |$ 时，一致连续的定义可表述为：如果对任意的 $\epsilon >0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得对任意兩點 $|x-y|<\delta$ ，都有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ ，则稱函數 $f$ 在 $X$ 上一致连续。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於：在均勻連續定義中，正數 $\delta$ 的選擇只依賴 $\epsilon$ 這變數，而不依賴定義域上點的位置。

一致连续性定理

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数 $f:X\to Y$ ， $(X,d_{1})$ 为紧致度量空间， $(Y,d_{2})$ 为度量空间。

假设 $f$ 不是一致连续的，則存在一個 $\epsilon >0$ ，对于任意 $n$ 都存在 $x_{n},y_{n}$ 满足条件 $d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}$ 并且 $d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon$ 。

因为 $X$ 为紧致度量空间， $X$ 是序列紧致的，所以存在一个 $(x_{n})$ 的收敛子序列 $(x_{k_{n}})$ ，设其收敛到 $x$ 。

$d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0$ ，所以 $(y_{k_{n}})\to x$ 。

因为 $f$ 连续， $\epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0$ ，矛盾，定理得证。

一致连续相比于连续是一个更强的结论。一般情况下，连续不意味着一致连续。

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正式的 ε-δ 定義

一致连续性定理

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