反函數

反函數
上级分类	逆、​函数、​逆态射

在數學裡，反函數，也稱為逆函數（英語：Inverse function），是對一個給定函數做逆運算的函數。如果一個函數 ${\displaystyle f}$ 將 ${\displaystyle x}$ 映射到 ${\displaystyle y}$，那麼它的反函數 ${\displaystyle f^{-1}}$ 將 ${\displaystyle y}$ 映射回 ${\displaystyle x}$，即 ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$ 且 ${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$。^[1]

例如，對於實函數 ${\displaystyle f(x)=5x-7}$，可以將它理解為先乘以5再減去7。要撤銷這一步，可以反過來先加上7再除以5，因此反函數為 ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}}$。^[1]

設${\displaystyle f}$為一函數，其定義域為${\displaystyle X}$，陪域為${\displaystyle Y}$。如果存在一函數${\displaystyle g}$，其定義域和陪域分別為${\displaystyle Y,\,X}$，並對任意${\displaystyle x\in X}$有 ${\displaystyle g(f(x))=x}$、對任意${\displaystyle y\in Y}$有${\displaystyle f(g(y))=y}$，則稱${\displaystyle g}$為${\displaystyle f}$的反函數，記之為${\displaystyle f^{-1}}$。^{[註 1]}

若一函數有反函數，便稱此函數可逆。一函數可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。^[2]

若${\displaystyle f}$為一实函数，还可通過水平線測試判断其是否为单射、满射与双射。

一部分函数尽管本身不可逆，但它到其定义域的某个子集上的限制是可逆的。^[3]例如

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty ),\,f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle f}$并不是单射，因${\displaystyle f(1)}$和${\displaystyle f(-1)}$均为${\displaystyle 1}$。但若取其到${\displaystyle [0,\infty )}$上的限制，则这一限制为双射，并拥有反函数

${\displaystyle {f_{|_{[0,-\infty )}}}^{-1}(x)={\sqrt {x}}.}$

反三角函数是限制定义域的另一个例子。正弦、余弦等三角函数具有周期性，如

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x),}$

这意味着其并非单射。若要定义三角函数的反函数，则需要限定其定义域，如反正弦函数通常定义为正弦函数到${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$上的限制的反函数。这一经过限制的定义域亦是反正弦函数的值域，称作其主值。

• 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
• 原函数与其反函数的函数图像关于函数${\displaystyle y=x}$的图像对称。
• 严格单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。
• 拥有反函数的函数不一定是严格单调函数，例如${\displaystyle y=x^{-3}}$

由反函數定理，對單變量實函數 ${\displaystyle f}$，若 ${\displaystyle f}$ 在區間上連續且嚴格單調，則 ${\displaystyle f}$ 在其值域上可逆。進一步地，若 ${\displaystyle f}$ 在點 ${\displaystyle x}$ 處可微且 ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$，則反函數 ${\displaystyle f^{-1}}$ 在 ${\displaystyle y=f(x)}$ 處可微，且^[4]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(y)={\frac {1}{f'(x)}}.}$

用萊布尼茨標記表示即 ${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=1{\big /}{\frac {dy}{dx}}}$。這一直觀結論可從鏈式法則推出。

對多變量函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$，反函數定理指出：若 ${\displaystyle f}$ 連續可微且在點 ${\displaystyle p}$ 處的雅可比矩陣可逆，則 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle p}$ 的某個鄰域上可逆，且反函數的雅可比矩陣等於原函數雅可比矩陣的逆矩陣。^[5]

在集合論中，可以定義更廣泛的左右逆概念。設 ${\displaystyle f:X\to Y}$：^[6]

• 若存在 ${\displaystyle g:Y\to X}$ 使得 ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$，則稱 ${\displaystyle g}$ 為 ${\displaystyle f}$ 的左逆。左逆存在的充要條件是 ${\displaystyle f}$ 為單射。
• 若存在 ${\displaystyle h:Y\to X}$ 使得 ${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}}$，則稱 ${\displaystyle h}$ 為 ${\displaystyle f}$ 的右逆。右逆存在的充要條件是 ${\displaystyle f}$ 為滿射（需依賴選擇公理）。
• 若一個函數同時擁有左逆和右逆，則兩者必定相等，稱之為雙側逆，即通常意義下的反函數。雙側逆存在的充要條件是 ${\displaystyle f}$ 為雙射。

此外，對任意函數 ${\displaystyle f}$（不必可逆），可以定義元素 ${\displaystyle y\in Y}$ 的原像（preimage）為集合 ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}}$，即所有映射到 ${\displaystyle y}$ 的 ${\displaystyle x}$ 的集合。原像的概念可以推廣到 ${\displaystyle Y}$ 的子集。^[1]

以下是一些反函數在日常生活中的應用：

• 溫度換算：攝氏度 ${\displaystyle C}$ 轉華氏度 ${\displaystyle F}$ 的函數為 ${\displaystyle F={\frac {9}{5}}C+32}$，其反函數 ${\displaystyle C={\frac {5}{9}}(F-32)}$ 用於將華氏度換算回攝氏度。^[1]
• 酸鹼度：pH 定義為 ${\displaystyle \mathrm {pH} =-\log _{10}[\mathrm {H} ^{+}]}$，其反函數 ${\displaystyle [\mathrm {H} ^{+}]=10^{-\mathrm {pH} }}$ 用於從 pH 值計算氫離子濃度。
• 對數與指數：指數函數 ${\displaystyle y=a^{x}}$ 的反函數是對數函數 ${\displaystyle x=\log _{a}y}$，兩者互為逆運算。

• 值域
• 逆關係
• 反函数定理