布朗运动

此條目介紹的是布朗运动。关于随机的过程，请见「维纳过程」。关于热力学的角度的定义，请见「热力学温度」。关于内部能量，请见「能量均分定理」。关于数学模型，请见「随机游走」。

布朗运动（英語：Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在西元1827年^[1]英國植物學家罗伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子愈小，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10⁻⁸厘米。

自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：^[2]

1. 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。
2. 粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。
3. 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。
4. 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。
5. 粒子的運動永不停止。

在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。根據阿伏伽德罗定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「阿伏伽德罗常数」。由氣體的莫耳質量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。^[3] 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 10¹⁴ 次撞击。^[4]因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动。

他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（${\displaystyle \Delta }$ 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 ${\displaystyle \varphi (\Delta )}$。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,t)+\tau {\frac {\partial \rho (x)}{\partial t}}+\cdots =\rho (x,t+\tau )={}&\int _{-\infty }^{+\infty }\rho (x+\Delta ,t)\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\={}&\rho (x,t)\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (\Delta )\,d\Delta +{\frac {\partial \rho }{\partial x}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }\Delta \cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta \\&{}+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \\={}&\rho (x,t)\cdot 1+0+{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2}}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +\cdots \end{aligned}}}$

第一行中的第二个等式是被 ${\displaystyle \varphi }$ 这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}}\cdot \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta +{\text{(更 高 阶 的 项 )}}}$

拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 ${\displaystyle \Delta }$，让 D 为质量扩散系数：

${\displaystyle D=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\Delta ^{2}}{2\,\tau }}\cdot \varphi (\Delta )\,\mathrm {d} \Delta }$

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\cdot {\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}$

假設在初始時刻t = 0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解

${\displaystyle \rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}$

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

1. 这个鞅是关于时间连续的。
2. 他的平方减去时间项也是一个鞅。

${\displaystyle (M_{t})}$是一个布朗运动当且仅当${\displaystyle (M_{t})}$为鞅，且${\displaystyle (M_{t}^{2}-t)}$也为鞅.

一维的定义

一维布朗运动${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. （独立增量）设时间t和s满足t > s,增量${\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$独立于时间s前的过程${\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$。
2. （稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量${\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$服从均值为0方差为t−s的正态分布。
3. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数${\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$是连续的.
4. 通常假设${\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0}$。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：

1. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：${\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}$,随机向量：${\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}$服从高维高斯分布（正态分布）。
2. ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$几乎处处连续。
3. 对于所有s和t,均值${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$，协方差${\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$.

高维定义

${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}}$是d维布朗运动，只需满足${\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}$为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动 取值于${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}}$，而它在${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}}$空间上的投影均为布朗运动。

Wiener测度的定义

设${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$为从${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}}$到${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$的连续函数空间，${\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )}$为概率空间。布朗运动为映射

${\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$

          ${\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)}$.

Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为${\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )}$,是映射B关于${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )}$的图测度。

换句话说， W是${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$上的一个概率测度，满足对于任何${\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}$，有

${\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}$。

备忘

• 布朗运动是一种增量服从正态分布的萊維過程。
• 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
• 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为${\displaystyle t}$的随机过程为布朗运动。

• 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何${\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega }$,轨道${\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$为一个连续但是零可微的函数。
• 协方差${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$。
• 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件${\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]}$,过程${\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}}$为一个独立于${\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s<T}}$的布朗运动。
• 它的Fourier变换或特征函数为${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}$。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
• 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, ${\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}}$是一个独立于${\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$的布朗运动。
• -B是一个布朗运动。
• （稳定性） 对于c > 0， ${\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}}$是布朗运动。
• （时间可逆性）${\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}}$在t=0之外是布朗运动。
• （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：

      如果${\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}}$,集合${\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}}$不是有界的，对于任何${\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$，

      如果${\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty }$（几乎处处）。

• （反射原理）

${\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}$

设${\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}}$为${\displaystyle L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}$空间中一列实值函数。设：

${\displaystyle \forall (u,v)\in {\mathbb {R} }_{+}{\text{, }}s(u,v)={\langle f_{u},f_{v}\rangle }_{L^{2}({\mathbb {R} }_{+})}=\int _{\mathbb {R} _{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx}$

这列函数满足：

${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ^{*}}$，任意的${\displaystyle t_{1},...,t_{k}\in \mathbb {R} _{+}}$,矩阵${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程${\displaystyle \{Y_{t}\}_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$，它的均值${\displaystyle m}$任意， 协方差为上面定义的${\displaystyle s}$。

当${\displaystyle (f_{t})_{t\in {\mathbb {R} }_{+}}=\left({\sqrt {c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$，${\displaystyle c>0}$为不依赖于t的常数，${\displaystyle 1\!\!1_{[0,t]}}$为${\displaystyle [0,t]}$上的示性函数。则：

${\displaystyle s(u,v)=c\int \limits _{\mathbb {R} }1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)}$

在这个情况下，矩阵${\displaystyle \left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leq i,j\leq k}}$是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。${\displaystyle c=Var(B_{1})}$，当${\displaystyle c=1}$时， 称之为 标准的布朗运动.

Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}$

其中（U_n, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

设2列独立的正态${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$随机变量序列${\displaystyle \scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )}$和${\displaystyle \scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )}$。定义${\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$：

${\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)}$

为布朗运动。

值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。），略為花粉的十萬分之一。因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。在罗伯特·布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。

在日本，以鶴田憲次『物理学叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辞典』^[5]、花輪重雄『物理学読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理学原論（上）』、平凡社『理科辞典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。国立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。

• 维纳过程

• 漫談布朗運動 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Brownian motion - an overview