李群

李群
典型群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n)
单李群 无限单李群 An, Bn, Cn, Dn 特殊单李群 G2 F4 E6 E7 E8
其他李群 圓群 勞侖茲群 庞加莱群 共形群 微分同胚群 圈群 欧几里得群
李代數 指数映射 李群的伴随表示 基灵型 李点对称
半單李代數 丹金图 嘉当子代数 根系 外尔群 分裂李代数 紧李代数
群表示论 李群表示 李代数表示
物理中的李群 粒子物理学与群表示论 洛仑兹群的群表示论 庞加莱群的群表示论 伽利略群的群表示论
科学家 索菲斯·李 庞加莱 威廉·基灵 埃利·嘉当 赫尔曼·外尔 克勞德·謝瓦萊 哈里希-钱德拉

李群（英語：Lie group，/ˈliː/）是一个数学概念，指具有群结构的光滑微分流形，其群作用與微分结构相容。李群的名字源於挪威数学家索菲斯·李的姓氏，以其為連續變換群奠定基礎。1893年，法文名詞groupes de Lie首次出現在李的學生亞瑟·特雷斯（Arthur Tresse）的論文第三頁中。^[1]

粗略地说，李群是连续的群，也即其元素可由几个实参数描述。因此，李群为连续对称性的概念提供了一个自然的模型，例如三维旋转对称性。李群被广泛应用于现代数学和物理学。索菲斯·李引入李群的最初动机是为微分方程的连续对称性建模，就像有限群被用于伽罗瓦理论对代数方程的离散对称性建模一样。

李群是光滑可微流形，因而可以用微分学来研究，这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象，也即群本身，而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”，而后来以“李代数”为人熟知。

李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为，可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如，欧氏几何对应于欧式空间R³中保距变换构成的欧几里得群E(3)；共形几何对应于把群扩大到共形群；而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念，其中G是流形"局部"对称性形成的李群。

李群（以及与之关联的李代数）在现代物理学中起到了重要作用，并通常扮演了物理系统中的对称性。这里，李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)（或其双覆盖特殊酉群SU(2))，特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。

• ${\displaystyle G}$为有限维实解析流形
• 两个解析映射，二元运算${\displaystyle G\times {}G\rightarrow {}G}$，和逆映射${\displaystyle G\rightarrow {}G}$满足群公理，从而具有群结构。

实李群是一个满足下列条件的群：它也是一个有限维实光滑流形，其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

意味着${\displaystyle \mu }$是一个从积流形${\displaystyle G\times G}$到${\displaystyle G}$的光滑映射。这两个条件可以合并成一条，即映射

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

是一个从积流形${\displaystyle G\times G}$到${\displaystyle G}$的光滑映射。

• 所有${\displaystyle 2\times 2}$实可逆矩阵构成了一个乘法群，记作${\displaystyle GL(2,\mathbb {R} )}$或${\displaystyle GL_{2}(\mathbb {R} )}$:

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

这是一个非紧致的四维实李群；它是${\displaystyle \mathbb {\mathbb {R} } ^{4}}$的一个开子集。这个群是非连通的；它有两个连通分量，对应于行列式的正负两种情况。

• 旋转矩阵构成了${\displaystyle GL(2,\mathbf {R} )}$的一个子群，记为${\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}$。它自己本身也是一个李群：具体地说，它是一个与圆微分同胚的一维紧致连通李群。使用旋转角${\displaystyle \varphi }$ 作为参数，这个群可以被参数化为如下形式：

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}$

其中，角度的加法对应于${\displaystyle SO(2,\mathbf {R} )}$中元素的乘法，角度的相反数对应于逆元。因此，乘法和求逆操作也都是可微映射。

• 一维仿射群是一类二维上三角阵组成的李群，其中第一个对角线上的元素为正，第二个对角线上的元素为1。因此，该群包含了如下形式的矩阵：

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

现在我们给出一个群的例子，它拥有不可数的元素，并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群：

${\displaystyle H=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right)\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right)\right|\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

其中${\displaystyle a\in \mathbb {P} =\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$是一个固定的无理数。这是一个环面 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ 的子群，它在子空间拓扑下不是李群。^[2]比如说，如果我们取${\displaystyle H}$中的一个点${\displaystyle h}$的任意小邻域${\displaystyle U}$，那么${\displaystyle H}$在 ${\displaystyle U}$中的部分是不连通的。群${\displaystyle H}$在环面上反复缠绕，形成了一个${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$的稠密子群。

另一方面，我们可以给群${\displaystyle H}$指定另一个拓扑，使得两点${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$之间的距离被定义为群H中连结 ${\displaystyle h_{1}}$和${\displaystyle h_{2}}$的最短路径长度。在这个拓扑下，${\displaystyle H}$通过其元素中对应的${\displaystyle \theta }$与实直线同胚。在这种拓扑下，${\displaystyle H}$仅仅是加法意义下的实数群，因此也是李群。

群${\displaystyle H}$是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。

用GL(n; C)表示复数域上的n × n可逆矩阵。GL(n, C)的任何闭子群也是一个李群^[3]；这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现，一些教科书把注意力限制在这类李群上，包括Hall^[4]以及 Rossmann^[5]等，这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例：

• 定义在R和C上的特殊线性群SL(n, R)和SL(n, C)，分别包括了元素属于R或C的、行列式为1的n × n矩阵。
• 酉群U(n)（以及特殊酉群SU(n)）, 包含了满足${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$（对于特殊酉群而言，还需满足${\displaystyle \mathrm {det} (U)=1}$）的n × n复矩阵。
• 正交群O(n)（以及特殊正交群SO(n)），包含了满足${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$ （对于特殊正交群而言，还需满足${\displaystyle \mathrm {det} (R)=1}$）的n × n实矩阵。

以上列举的群均为经典群。

与实李群相对应，复李群是在复流形上定义的（例如SL(2, C)）。类似地，使用一种Q的度量完备化我们可以在 p-进数上定义p-进数李群，一种满足每个点都有一个p-进数邻域的拓扑群。

李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群（大部分情况下）是由矩阵构成的群（例如正交群和辛群），而这些也是李群最常见的例子。

一维情况下唯二的连通李群是实直线${\displaystyle \mathbb {R} }$ （其群操作为加法）和由绝对值为1的复数组成的圆群 ${\displaystyle S^{1}}$ （其群操作为乘法）。 ${\displaystyle S^{1}}$也常被记作${\displaystyle U(1)}$，即${\displaystyle 1\times 1}$酉群。

在二维情况下，如果我们只考虑简单连通群，那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类，那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$（其群操作为向量加法）以及一维仿射群（在前面的小节"初步的样例"中有介绍）。

部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目採相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为${\displaystyle C^{\infty }}$）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价：

定理.任意${\displaystyle C^{\infty }}$李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。

${\displaystyle G,H}$均为李群，二者之间的一个同态：${\displaystyle f\,:G\rightarrow H}$为群同态并且是解析映射（事实上，可以证明这里解析的条件只需满足连续即可）。显然，两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射，这个双射及其逆射均为同态，就称之为同构。

李代數刻劃了李群在單位元附近的局部性狀；藉助指數映射或源自李代數的葉狀結構，可以將李代數的性質提昇到李群的層次。

設${\displaystyle G}$為李群，其李代數${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$定義為${\displaystyle G}$在單位元的切空間。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$自然具備了矢量空間結構，${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$上的李括積${\displaystyle [,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$定義如下：

1. 定義${\displaystyle G}$對自身的伴隨作用為 ${\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(y):=xyx^{-1}}$，${\displaystyle x,y\in G}$。
2. 取Ad對變元${\displaystyle y\in G}$在單位元上的微分，得到李代數上的伴隨作用，通常記為${\displaystyle \mathrm {Ad} (x)(Y)=xYx^{-1}}$，${\displaystyle x\in G,Y\in {\mathfrak {g}}}$。
3. 再對變元${\displaystyle x\in G}$微分，得到映射${\displaystyle \mathrm {ad} :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$。定義李括積為${\displaystyle [X,Y]:=\mathrm {ad} (X)(Y)}$。

不難驗證${\displaystyle [,]}$滿足李代數的抽象定義。李括積蘊含了群乘法的無窮小性質，例如：連通李群${\displaystyle G}$是交換群若且唯若${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$是交換李代數。

李括積也可以用左不變矢量場及泊松括號定義，或者取定局部坐標，用群乘法映射在原點的泰勒級數定義。

若${\displaystyle G}$是李群，${\displaystyle H\subset G}$是其子群，並帶有李群結構，使得包含映射${\displaystyle H\to G}$為浸入（不一定是閉的），則可得到子李代數${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$。反之，任意子李代數${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$透過左平移定義了${\displaystyle G}$上的葉狀結構，取含單位元的極大積分流形，便得到滿足前述條件的子群${\displaystyle H\subset G}$。此子群未必是閉子群，它可能是${\displaystyle G}$的稠密子集（考慮環面的例子）。

李代數的映射${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}}$未必能提昇至李群的映射${\displaystyle G_{1}\to G_{2}}$，但可提昇至映射${\displaystyle {\tilde {G}}_{1}\to G_{2}}$，其中${\displaystyle {\tilde {G}}_{1}}$是${\displaystyle G_{1}}$的萬有覆疊空間。

對於任意矢量${\displaystyle X\to {\mathfrak {g}}}$，根據常微分方程式的基本理論，存在${\displaystyle G}$中的單參數子群${\displaystyle c_{X}(t),c_{X}(0)=e}$使得${\displaystyle c_{X}'(t)=c_{X}(t)\cdot X}$。由此得到的映射

${\displaystyle \mathrm {exp} :{\mathfrak {g}}\to G}$

${\displaystyle X\mapsto c_{X}(1)}$

稱為指數映射。它總是解析映射。

若${\displaystyle G}$為${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$的子群，則${\displaystyle \mathrm {exp} (X)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {X^{i}}{i!}}}$，這是指數映射一詞的緣由。

當${\displaystyle G}$連通且非交換時，指數映射${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$並非同態；局部上，${\displaystyle \mathrm {exp} (X)\mathrm {exp} (Y)}$可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括積的無窮級數。

在任意體、環乃至於概形上，都可以定義群概形；這是概形範疇中的群對象。群概形具有深刻的幾何與數論意義，然而李群未必是代數簇。

另一方面，若域${\displaystyle F}$對某個絕對值是完備域，其特徵為零，則可照搬解析李群的定義以定義體${\displaystyle F}$上的李群、李代數與指數映射。較常見的例子是${\displaystyle F=\mathbb {C} }$；至於數論方面，特別涉及自守表示的研究上，則須用到${\displaystyle F}$為p進數體的情形。

• 李型群