模

环论
基礎概念 環 • 子環 • 商環 • 完全商環 • 環的直積 • 多項式環 • 矩陣環 理想 • 核 • 質理想 • 準質理想 • 極大理想 • 主理想 • 分式理想 • 根理想 • 冪零理想 • 雅各布森根 • 分式理想 環同態 • 核 • 內自同構 • 弗羅貝尼烏斯自同態 代數結構 • 模 • 代數 • 結合代數 • 階化環 • *-代數 • 環的範疇 相關結構 • 體 • 有限體 • 非結合環 • 李環 • 約爾旦環 • 半環 • 半體
交換代數 交換環 • 整環 • 整閉整環 • GCD環 • 唯一分解整環 • 主理想整環 • 歐幾里得整環 • 複合環 • 多項式環 • 形式冪級數環 代數數論 • 代數數體 • 整數環 • 代數獨立 • 超越數論 • 超越次數 P進數 • P整數 • P有理數 代數幾何 • 仿射簇
非交換代數 非交換環 • 除环 • 半本原環 • 單環 • 交換子 非交換代數幾何 自由代數 克利福德代數 運算元代數

在數學的抽象代數中，環上的模（英語：module）是對體上的向量空間的推廣，這裡不再要求向量空間裡的純量的代數結構是體，進而放寬純量可以是環。模同時也是交換群的推廣，因為交換群與整數環上的模相同^[1]。

因此，模同向量空間一樣是加法交换群；在環元素和模元素之間定義了乘積運算，并且環元素和模元素的乘積是符合結合律的^{[註 1]}和分配律的。

模與群的表示論密切相關。模也是交換代數和同調代數的中心概念，并廣泛地應用于代數幾何和代數拓撲中。

假設 ${\displaystyle R}$ 是環(ring)且 ${\displaystyle 1_{R}\in R}$， ${\displaystyle 1_{R}}$ 是其乘法運算的單位元素。左R-模包括一個交換群 ${\displaystyle (M,+)}$ ，以及一個映射(或運算)

${\displaystyle \cdot :R\times M\rightarrow M}$

(該運算叫做純量乘法或數積，對 ${\displaystyle r\in R}$ 及 ${\displaystyle x\in M}$ ，此運算的值 ${\displaystyle \cdot (r,x)}$ 會記作 ${\displaystyle rx}$ 或是 ${\displaystyle r\cdot x}$) ，並且滿足以下條件

對所有 ${\displaystyle r,s\in R}$ ， ${\displaystyle x,y\in M}$

1. ${\displaystyle (r\cdot s)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}$
2. ${\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}$
3. ${\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}$
4. ${\displaystyle 1_{R}\cdot x=x.}$

有數學家的左模定義並不要求環有單位乘法元素 ${\displaystyle 1_{R}}$ ，所以他們的定義只含以上前三個條件而排除了第四個條件，並把以上的定義稱為"帶單位元( ${\displaystyle 1_{R}}$ )的左模"。

左R-模 ${\displaystyle M}$ 記作 ${\displaystyle _{R}M}$ ，類似的右R-模 ${\displaystyle M}$ 記作 ${\displaystyle M_{R}}$ 。

右R-模 ${\displaystyle M}$ 或 ${\displaystyle M_{R}}$ 與左R-模的定義相似，只是環的元素在右邊，即其純量乘法是 ${\displaystyle \cdot :M\times R\rightarrow M}$ 。在左R-模的定義中，環的元素 ${\displaystyle r}$ 和 ${\displaystyle s}$ 是在 ${\displaystyle M}$ 的元素 ${\displaystyle x}$ 的左邊。若 ${\displaystyle R}$ 是可交換環，則左R-模與右R-模是一樣的，簡稱為R-模。

若 ${\displaystyle R}$ 是一個域，則根據上述定義，R-模滿足R-向量空間的定義。因此模是向量空間的推廣，有很多與向量間相同的性質，但一般模不存在基底。

• 所有交換群 ${\displaystyle M}$ 是一個在整數環 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上的模，對 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ 及 ${\displaystyle x\in M}$，如果 ${\displaystyle n>0}$ ，其純量乘法定義為是 ${\displaystyle nx=x+x+\dots +x}$ （ ${\displaystyle n}$ 個 ${\displaystyle x}$ 相加），如果 ${\displaystyle n=0}$ ， ${\displaystyle 0x=x}$ ，對 ${\displaystyle n<0}$ ， ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$ 。
• 若 ${\displaystyle R}$ 是一個環而 ${\displaystyle n}$ 是一個自然數，則 ${\displaystyle R^{n}}$ 是一個R-模。
• 若 ${\displaystyle X}$ 是一個光滑流形，則所有由 ${\displaystyle X}$ 映射至實數的光滑函数 ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ 是一個環 ${\displaystyle R}$ 。在 ${\displaystyle X}$ 上的所有向量場組成一個R-模。
• 所有 ${\displaystyle n\times n}$ 實數矩陣 ${\displaystyle A\in M_{n\times n}(\mathbb {R} )}$ 與矩陣加法和矩陣乘法組成一個環 ${\displaystyle R}$ 。 歐幾里得空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 是一個左R-模，當中矩陣 ${\displaystyle A}$ 與向量 ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$ 之間的純量乘法就是矩陣乘法 ${\displaystyle Av}$ 。
• 若 ${\displaystyle R}$ 是一個環而 ${\displaystyle I}$ 是其中一個 左理想 ，則 ${\displaystyle I}$ 是一個左R-模。

假設 ${\displaystyle M}$ 是左 ${\displaystyle R}$ -模， ${\displaystyle N}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的子集。如果對於所有 ${\displaystyle n\in N}$ 及 ${\displaystyle r\in R}$ ，乘積 ${\displaystyle rn\in N}$ （對右模，則考慮 ${\displaystyle nr}$ ），則 ${\displaystyle N}$ 是 ${\displaystyle _{R}M}$ 的子模（或更準確地，R-子集）。

令 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle N}$ 為兩個左R-模， ${\displaystyle f}$ 為它們之間的一個映射， ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$。若對所有 ${\displaystyle m,n\in M}$ 及 ${\displaystyle r,s\in R}$ ， ${\displaystyle f(rm+sn)=rf(m)+sf(n)}$ ，則${\displaystyle f}$ 為R-模同態。與其他類型的同態一樣，模同態保存了模的結構。

若M是左R-模，則一個R中元素r之作用定義為映射M → M，它將每個x映至rx（或者在右模的情況是xr），這必然是阿貝爾群（M,+）的群自同態。全體M的自同態記作End_Z(M)，它在加法與合成下構成一環，而將R的元素r映至其作用則給出從R至End_Z(M)之同態。

如此的環同態R → End_Z(M)稱作R在阿貝爾群M上的一個表示。左R-模的另一種等價定義是：一個阿貝爾群M配上一個R的表示。

一個表示稱作忠實的，若且唯若R → End_Z(M)是單射。以模論術語來說，這意謂若r是R的元素，且使得對所有M中的x都有rx=0，則r=0。任意阿貝爾群皆可表成整數環Z或其某一商環Z/nZ的忠實表示。

1. ^ David S. Dummit; Richard M. Foote. Abstract Algebra (third edition). United States of America: John Wiley and Sons, Inc. 2004: 339. ISBN 978-0-471-43334-7 （英语）.