波函数

本条目中，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

提示：此条目的主题不是波動方程式。

系列条目
量子力学
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ 薛定谔方程
入门 术语 历史
背景 经典力学 舊量子論 狄拉克符号 哈密顿算符 干涉
基本原理 互补 退相干 纠缠 能级 测量 非局域性 量子数 量子態 态叠加原理 对称性 量子穿隧效應 不确定性 波函数 波函数坍缩
实验 貝爾定理的實驗驗證 戴維森-革末實驗 雙縫實驗 伊利澤-威德曼炸彈測試問題 法蘭克-赫茲實驗 Leggett-Garg不平等现象 馬赫-曾德爾干涉儀 波普尔实验 量子擦除實驗 延遲選擇 薛定谔猫 施特恩-格拉赫实验 惠勒延迟选择实验
表述 概览 海森堡繪景 相互作用繪景 矩陣力學 相空间表述 薛丁格繪景 路徑積分表述
方程 狄拉克方程式 克莱因-戈尔登方程 包立方程式 里德伯公式 薛定谔方程
诠释 概览 量子贝叶斯主义 一致性历史 哥本哈根詮釋 德布罗意-玻姆理论 系綜詮釋 隱變量理論 局部隐变量 多世界诠释 客觀坍縮理論 量子逻辑 關係性量子力學 交易詮釋
高阶 相对论量子力学 量子场论 量子信息科学 量子计算 量子混沌 密度矩陣 散射理论 量子统计力学 量子機器學習
科学家 阿哈罗诺夫 貝爾 贝特 布莱克特 布洛赫 玻姆 玻尔 玻恩 玻色 德布罗意 康普顿 狄拉克 戴维孙 德拜 埃伦费斯特 爱因斯坦 艾弗雷特三世 福克 费米 費曼 格劳伯 古茨威勒 海森堡 希尔伯特 约尔旦 克喇末 泡利 兰姆 朗道 劳厄 莫塞莱 密立根 昂內斯 普朗克 拉比 拉曼 里德伯 薛定谔 米歇尔·西蒙斯 索末菲 冯·诺伊曼 外尔 维恩 维格纳 塞曼 蔡林格

在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（英語：Wave function）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。^{[註 1]}

波函數 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ 是一種複值函數，表示粒子在位置 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 、時間 ${\displaystyle t}$ 的機率幅，它的絕對值平方 ${\displaystyle |\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}}$ 是在位置 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 、時間 ${\displaystyle t}$ 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。^{[1][註 2]}

在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。^{[2]: 606–609}

德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。^[3]: 207他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界^{[4][5]: 163–167}。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。

薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義^{[3]: 219–220}。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。^[3]: 479

1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米尔·福克在對於多體波函數的研究踏出第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。^{[6]: 344–345}

薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。^{[3]: 196–197 [7]: 3}

1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相互作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。^[7]: 3

1928年，保羅·狄拉克最先成功統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這個方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。^[5]: 167

假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ；其中，${\displaystyle x}$ 是位置，${\displaystyle t}$ 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 ${\displaystyle x}$ 在區間 ${\displaystyle [a,b]}$ （即 ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ ）的機率${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}}$為

${\displaystyle P_{a\leq x\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x}$ ；

其中，${\displaystyle t}$ 是對於粒子位置做測量的時間。

換句話說，${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}}$ 是粒子在位置 ${\displaystyle x}$ 、時間 ${\displaystyle t}$ 的機率密度。

這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,|\Psi (x,t)|^{2}\mathrm {d} x=1}$ 。

在動量空間，粒子的波函數表示為 ${\displaystyle \Phi (p,t)}$ ；其中，${\displaystyle p}$ 是一維動量，值域從 ${\displaystyle -\infty }$ 至 ${\displaystyle +\infty }$ 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 ${\displaystyle p}$ 在區間 ${\displaystyle [a,b]}$ （即 ${\displaystyle a\leq p\leq b}$ ）的機率為

${\displaystyle P_{a\leq p\leq b}=\int _{a}^{b}\,|\Phi (p,t)|^{2}\mathrm {d} p}$ 。

動量空間波函數的歸一化條件也類似：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\,\left|\Phi (p,t)\right|^{2}\mathrm {d} p=1}$ 。

位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為^[8]: 108

${\displaystyle \Phi (p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{-ipx/\hbar }\Psi (x,t)\mathrm {d} x}$ 、

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ipx/\hbar }\Phi (p,t)\mathrm {d} p}$ 。

量子力学中体系的态实际上由一个希尔伯特空间里的 ${\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }$ 矢量来描述。我们可以用任何不同的基来表示它。^[9]

波函数 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ 实际上是 ${\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }$ 在坐标本征函数为基上展开的${\displaystyle x}$“分量”：

${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\mid {\mathfrak {J}}(t)\rangle ,}$

（这里基矢量 ${\displaystyle |x\rangle }$ 对应于本征值为 ${\displaystyle x}$ 的算符 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ 的本征函数）。^[9]

动量空间波函数 ${\displaystyle \Phi =(p,t)}$ 是 ${\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle }$ 用动量本征函数的基展开时的展开系数:

${\displaystyle \Phi (p,t)=\langle p\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }$

（这里基矢量 ${\displaystyle |p\rangle }$ 对应于属于本征值 ${\displaystyle p}$ 的 ${\displaystyle {\hat {p}}}$ 的本征函数）^{[9][註 3]} 。

我们也可以把 ${\displaystyle |{\mathfrak {F}}(t)\rangle }$ 用能量本征函数的基展开（简单起见，假设谱是分立的）：

${\displaystyle c_{n}(t)=\langle n\mid {\mathfrak {\Im }}(t)\rangle }$

（这里基矢量 ${\displaystyle |n\rangle }$ 对应属于 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ 的第 ${\displaystyle n}$ 个本征函数：${\displaystyle c_{n}=\left\langle f_{n}\mid \Psi \right\rangle =\int f_{n}(x)^{*}\Psi (x,t)\mathrm {d} x}$) 。^[9]

波函数 ${\displaystyle \Psi }$ 与 ${\displaystyle \Phi }$ 和系数的集合 ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}}$ ，所有这些所表示的都是同一个状态，包含完全一样的信息——它们仅是描述同一矢量的三种不同途径而已^[9]：

${\displaystyle |{\mathfrak {J}}(t)\rangle \rightarrow \int \Psi (y,t)\delta (x-y)dy=\int \Phi (p,t){\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{ipx/\hbar }dp=\sum c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar }\psi _{n}(x)}$

在一維空間裏，運動於位勢 ${\displaystyle V(x)}$ 的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)}$ ；

其中，${\displaystyle m}$ 是質量，${\displaystyle \hbar }$ 是約化普朗克常數。

不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 ${\displaystyle \Psi (x,\,t)}$ 的函數形式為

${\displaystyle \Psi (x,\,t)=\psi _{E}(x)e^{-iEt/\hbar }}$ ；

其中，${\displaystyle E}$ 是分離常數，稍加推導可以論定 ${\displaystyle E}$ 就是能量，${\displaystyle \psi _{E}(x)}$ 是對應於 ${\displaystyle E}$ 的本徵函數。

代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi _{E}(x)+V(x)\psi _{E}(x)=E\psi _{E}(x)}$ 。

波函数 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ 是概率波。其模的平方 ${\displaystyle \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,}$ 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分

${\displaystyle \int \vert \Psi (\mathbf {r} ,t)\vert ^{2}\,d^{3}\,x=1}$ 。

波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。

在量子力学中，可观察量 ${\displaystyle A}$ 以算符 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ 的形式出现。${\displaystyle {\hat {A}}}$ 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ 的形式為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$ 。

可观察量 ${\displaystyle A}$ 的本徵方程式為

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi }$ 。

对应的 ${\displaystyle a}$ 称为算符 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ 的本徵值，${\displaystyle \psi }$ 称为算符 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ 的本徵態。假設對於 ${\displaystyle {\hat {A}}}$ 的本徵態 ${\displaystyle \psi }$ 再測量可观察量 ${\displaystyle A}$ ，則得到的結果是本徵值 ${\displaystyle a}$ 。

假設對於某量子系統測量可觀察量 ${\displaystyle A}$ ，而可觀察量 ${\displaystyle A}$ 的本徵態 ${\displaystyle |a_{1}\rangle }$ 、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$ 分別擁有本徵值 ${\displaystyle a_{1}}$ 、${\displaystyle a_{2}}$ ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 也可以是這量子系統的量子態：

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle }$ ；

其中， ${\displaystyle c_{1}}$ 、${\displaystyle c_{2}}$ 分別為疊加態處於本徵態 ${\displaystyle |a_{1}\rangle }$ 、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$ 的機率幅。

假設对這疊加態系統测量可观察量 ${\displaystyle A}$ ，則測量獲得數值是 ${\displaystyle a_{1}}$ 或 ${\displaystyle a_{2}}$ 的機率分別為 ${\displaystyle |c_{1}|^{2}}$ 、${\displaystyle |c_{2}|^{2}}$ ，期望值為

${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}}$ 。

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$ 分離成一个只与位置有关的函数 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ 和一个只与时间有关的函数 ${\displaystyle f(t)}$ ：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )f(t)}$ 。

將這公式代入薛定谔方程，就会得到

${\displaystyle f(t)=\exp {(-iEt/\hbar )}}$ 。

而 ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ 则满足本徵能量薛丁格方程式：

${\displaystyle {\hat {H}}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}$ 。

3D空间中的自由粒子，其波矢 为k ， 角频率 为ω，其波函数为：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,.}$

粒子被限制在x = 0和x = L之间的1D空间中，其波函数为:^{[8]: 30–38}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x,t)&={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-i\omega _{n}t},&\quad 0\leq x\leq L\\\Psi (x,t)&=0,&x<0,x>L\\\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle \hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}}$是能量本徵值，${\displaystyle n}$是正整數，${\displaystyle m}$是質量。

在1D情况下，粒子处于如下势垒中：

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$

其波函数的定态解为(${\displaystyle k,\kappa }$为常数)

${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+A_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }\exp(\kappa x)+B_{\mathrm {l} }\exp(-\kappa x)&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }\exp(ikx)+C_{\mathrm {l} }\exp(-ikx)&x>a.\end{cases}}}$

量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。

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