無理數

無理數（irrational number）是指有理数以外的实数，當中的「理」字来自于拉丁语的rationalis，意思是「理解」，实际是拉丁文对于logos「说明」的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。

非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中，无理数最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯发现，他以幾何方法證明${\displaystyle {\sqrt {2}}}$無法用整数及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信無理數存在，後來希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另見第一次數學危機。

1. ${\displaystyle {\sqrt {3}}=}$1.73205080…
2. ${\displaystyle \log _{10}3=}$＝0.47712125…
3. ${\displaystyle e=}$2.71828182845904523536…
4. ${\textstyle \sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}=}$0.70710678…
5. ${\displaystyle \pi =}$3.141592653589793238462…

• 无理数加或减有理数必得无理数。
• 无理数乘以或除以不等于0的有理数必得无理数。
• 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。但无理数的无理数次幂不一定是无理数，如${\displaystyle {({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}=2}$是有理数。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數。如${\displaystyle \log _{10}2+\log _{10}5=\log _{10}10=1}$，${\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\frac {\sqrt {2}}{2}}=1}$都是无理数与无理数进行四则运算得到有理数的例子。只有一些特定形式的数，如${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$，可以证明是无理数。而${\displaystyle \pi +e}$、${\displaystyle \pi -e}$等数未知是否是无理数，事实上，對于任何非零整數${\displaystyle m\,}$及${\displaystyle n\,}$，不知道${\displaystyle m\pi +ne\,}$是否無理數。

目前也不知道${\displaystyle 2^{e}\,}$、${\displaystyle \pi ^{e}\,}$、${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$、欧拉－马歇罗尼常数${\displaystyle \gamma \,}$、卡塔兰常数${\displaystyle G}$和费根鲍姆常数是否是無理數。

無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而贝尔纲定理可應用於無數間的拓撲空間。

${\displaystyle x^{2}=c\qquad (c>0)}$，

選取正實數${\displaystyle \rho \,}$使

${\displaystyle \rho ^{2}<c\!}$。

經由遞迴處理

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}\ -\!\rho ^{2}&=c\ -\!\rho ^{2}\\(x\ -\!\rho )(x\ +\!\rho )&=c\ -\!\rho ^{2}\\x\ -\!\rho &={\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\x&=\rho \ +\!{\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!\left(\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\right)}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\ddots \,}}}}}}={\sqrt {c}}\,\end{aligned}}}$

證明某數是無理數，可以採用反證法，首先假設該數是有理數，可以用最簡分數${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$表示，進而推導出矛盾，證明假設不成立。

假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理数，且${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$，${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$是最简分数。

两边平方，得${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}$。将此式改写为${\displaystyle 2q^{2}=p^{2}}$，可见${\displaystyle p^{2}}$为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以${\displaystyle p}$只能为偶数。设${\displaystyle p=2p_{1}}$，其中${\displaystyle p_{1}}$为整数。

代入可得${\displaystyle q^{2}=2p_{1}^{2}}$。同理可得${\displaystyle q}$亦为偶数。

这与${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$为最简分数的假设矛盾，所以${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理数的假设不成立。

此结论可进一步推广，当${\displaystyle N}$为正整数但不是完全平方数时，${\displaystyle {\sqrt {N}}}$是无理数。一般地，根据有理数根定理，对于方程${\displaystyle a_{n}x_{n}^{n}+a_{n-1}x_{n-1}^{n-1}+a_{n-2}x_{n-2}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$，${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$是整数，${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$，方程的有理数解${\displaystyle x={\frac {p}{q}}}$必须满足${\displaystyle p}$是常数项${\displaystyle a_{0}}$的整数因子以及${\displaystyle q}$是首项${\displaystyle a_{n}}$的整数因子，而其他的解是无理数。

假设${\displaystyle \log _{2}3}$是有理数，且${\displaystyle \log _{2}3={\frac {p}{q}}}$，那么有

${\displaystyle 2^{p/q}=3}$

${\displaystyle (2^{p/q})^{q}=3^{q}}$

${\displaystyle 2^{p}=3^{q}.}$

因为${\displaystyle 2^{p}}$是偶数，${\displaystyle 3^{q}}$是奇数，所以得到矛盾，因此${\displaystyle \log _{2}3}$是无理数。

所有無理數成的集合其定义为：

${\displaystyle \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$

• 分划
• 丢番图逼近
• 3的算术平方根
• 5的算术平方根
• 超越数
• 第一次數學危機
• 正規數

• 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 （页面存档备份，存于互联网档案馆），有畢氏弄石法的證明
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華（數學傳播 第30卷 第4期）