自我迴歸模型

自我迴歸模型（英語：Autoregressive model，簡稱AR模型），是統計上一種處理時間序列的方法，用同一變數例如${\displaystyle x}$的之前各期，亦即${\displaystyle x_{1}}$至${\displaystyle x_{t-1}}$來預測本期${\displaystyle x_{t}}$的表現，並假設它們為一線性關係。因為這是從迴歸分析中的線性迴歸發展而來，只是不用${\displaystyle x}$預測${\displaystyle y}$，而是用${\displaystyle x}$預測${\displaystyle x}$（自己）；因此叫做自我迴歸。它可用於描述來自多種自然和人工來源的時變過程。該模型指定了輸出變量，這些變量在隨機基礎上線性依賴其自身的先前值。此模型採隨機差分方程（或遞推關係）的形式，切勿將其與微分方程混淆。它與移動移动平均 (MA) 模型一起，構成了更一般的自我迴歸滑動平均模型 (ARMA) 和自回归单整移动平均模型 (ARIMA) 時間序列模型的特例和關鍵組成部分，這些模型具有更複雜的隨機結構；它也是向量自回歸 (VAR) 模型的特例，VAR 模型由多個相互關聯的隨機差分方程組成，涉及多個隨機變數的變化。

另一個重要的擴展是時變自回歸（TVAR）模型，其中自回歸係數允許隨時間變化，以模擬演化或非平穩過程。 TVAR 模型廣泛應用於系統底層動態並非恆定的情況，例如感測器時間序列建模^[1][2]、氣候科學^[3]、經濟和金融（如計量經濟學）^[4][5]、信号处理^[6]、電信^[7]、雷達系統^[8]和生物信号^[9]。

尽管大型語言模型被稱為自我迴歸模型，但從這個意義上講，不被認為是經典的自回歸模型，因為它們不是線性的。

自迴歸模型被廣泛運用在經濟學、資訊學、自然現象的預測上。

符號${\displaystyle AR(p)}$表示p階自迴歸模型。 AR(p)模型定義如下：

${\displaystyle X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}\,}$

其中：${\displaystyle c}$是常數項；${\displaystyle \varepsilon _{t}}$被假設為平均數等於0，標準差等於${\displaystyle \sigma }$的隨機誤差值；${\displaystyle \varepsilon _{t}}$被假設為對於任何的${\displaystyle t}$都不變。

文字敘述為：${\displaystyle X}$的當期值等於一個或數個前期值的線性組合，加常數項，加隨機誤差。

自我迴歸方法的優點是所需資料不多，可用自身變數數列來進行預測。但是這種方法受到一定的限制：

1. 必須具有自我相關，自相關係數（${\displaystyle \varphi _{i}}$）是關鍵。如果自相關係數(R)小於0.5，則不宜採用，否則預測結果極不準確。
2. 自我迴歸只能適用於預測與自身前期相關的經濟現象，即受自身歷史因素影響較大的經濟現象，如礦的開採量，各種自然資源產量等；對於受社會因素影響較大的經濟現象，不宜採用自我迴歸，而應改採可納入其他變數的向量自迴歸模型。

• 向量自迴归模型（VAR模型）
• 移动平均模型 （MA模型）
• 自迴歸滑動平均模型（ARMA模型）
• 差分自迴歸滑動平均模型（ARIMA模型）
• 格蘭傑因果關係（Granger Causality）
• 无限冲激响应
• 共振

• （英文）自迴歸分析（AR） by Paul Bourke
• （英文）YouTube上的Econometrics lecture (topic: Autoregressive models) by Mark Thoma