万有引力常数

万有引力常数（记作${\displaystyle G}$），是一个在对有质量的物体间的万有引力的计算中含有的实验物理常数。該常数出现於牛顿的万有引力定律和爱因斯坦的广义相对论中，也称作重力常數或牛顿常数。然而，其較易与小写的${\displaystyle g}$混淆，但不同的是，后者为局部引力场（等于局部引力引起的加速度）。

万有引力常数是測量難度高的物理常数之一^[1]。在国际单位制的单位中，2018年的科学技术数据委员会推荐的万有引力常数的值为：^[2]

${\displaystyle G=\left(6.67430\pm 0.00015\right)\times 10^{-11}\mathrm {m} ^{3}\mathrm {kg} ^{-1}\mathrm {s} ^{-2}}$

卡文迪什在1798年设计的扭秤实验是第一个达到1%精度的万有引力常数测量实验。

在近代，一些物理学家认为万有引力常数并非定值，而是随宇宙年龄的增长而逐渐变小 (狄拉克的大數假說) ，不过目前仍然没有可靠的实验证据显示万有引力常数是变化的。

根据万有引力定律，两质点间的吸引力与二者的质量的乘积成正比，而与他们之间的距离的平方成反比：

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

在上述非相对论情况下的公式中，其中的比例常数${\displaystyle G}$即是万有引力常数。

万有引力常数同样出现在广义相对论中的爱因斯坦场方程^[3][4]： ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\,,}$，其中G_μν为爱因斯坦张量（尽管用到了G，但这并不是万有引力常数），Λ是宇宙学常数，g_μν是度规张量，T_μν是应力-能量张量，κ则是爱因斯坦引力常数，是一个爱因斯坦定义的常数，该常数与万有引力常数有直接的联系^[4][5][a]：

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.076\,647(46)\times 10^{-43}\mathrm {~N^{-1}} .}$

根据牛顿的万有引力定律，可以写出

${\displaystyle |{\vec {F}}|\propto {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

根据量纲分析，可以得出力的量纲为

${\displaystyle [|{\vec {F}}|]=M\cdot L\cdot T^{-2}}$

而${\displaystyle {\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$ 的量纲则为${\displaystyle \left[{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\right]=M^{2}L^{-2}}$。等式两边的量纲并不相等，解决的办法就是加入一个带有量纲的比例常数（即万有引力常数），即${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$。因此万有引力常数的量纲为${\displaystyle \left[G\right]={\frac {\left[|{\vec {F}}|\right]\left[r^{2}\right]}{\left[m_{1}m_{2}\right]}}=M^{-1}\cdot L^{3}\cdot T^{-2}}$。

在国际单位制中，万有引力常数的单位是${\displaystyle \mathrm {m} ^{3}\mathrm {kg} ^{-1}\mathrm {s} ^{-2}}$。

牛顿在17世纪80年代发表的《自然哲学的数学原理》提出了这个常数，但并没有测量万有引力常数的值（${\displaystyle G}$这个记号是19世纪90年代出现的）^[6]。他认为可以通过测量山附近单摆的偏转测量该常数，但是这个效应过于微小，无法实际操作。^[7]

1738年，法国科学家皮埃尔·布给和探险家夏尔·马里·德拉孔达米纳于钦博拉索山进行了一次尝试测量万有引力常数的实验。由于自然环境的影响，本次实验并没有成功得出万有引力常数的值。但是，布给本人认为，本次实验至少证明了地球不是中空的，并希望有人可以在欧洲重复该实验。^[8]

第一次成功测量出地球平均密度的实验是1772年提出，1776年进行的榭赫伦实验。1778年，查尔斯·赫顿通过上述实验的结果得出了地球平均密度，大约为7003450000000000000♠4.5 g/cm^3[9]。万有引力常数可以通过平均密度估计^[10]：

${\displaystyle G=g{\frac {R_{E}^{2}}{M_{E}}}={\frac {3g}{4\pi R_{E}\rho _{E}}}}$

其中${\displaystyle R_{E}}$为地球半径，${\displaystyle M_{E}}$为地球质量，${\displaystyle \rho _{E}}$为地球平均密度。根据测量数据，此次测量的万有引力常数应为G ≈ 6989800000000000000♠8×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻²。

1798年（牛顿死后71年），亨利·卡文迪什根据地质学家約翰·米歇爾设计的扭秤进行了第一次直接测量两个物体间的引力的实验^[11]。实验中，他将大球对小球的引力转换成连接小球的杆子所旋转的角度，并由此间接的计算出了万有引力常数。本实验实际上是由米歇尔设计的，他去世前将扭秤和实验计划一起交给了卡文迪什。现在，该实验冠以卡文迪什的名字以纪念这位首位成功做出该实验的人。

卡文迪什表明，本次实验的目标是“给地球称重”，即求出地球的平均密度和质量。实验测量出的地球平均密度为ρ_e = 7000544800000000000♠5.448(33) g.cm-3，相对应的万有引力常数为G = 6989674000000000000♠6.74(4)×10⁻¹¹ m³⋅kg⁻¹⋅s⁻²。这是十分准确的结果，和现代CODATA的推荐值仅仅相差1%。

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