度量张量

度量張量（英語：Metric tensor）在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量，物理学译为度規張量，是指一用來衡量度量空间中距離，面積及角度的二階張量。

當选定一個局部坐標系統${\displaystyle x^{i}}$，度量張量為二階張量一般表示為 ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} s^{2}=\sum _{ij}g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}$，也可以用矩陣 ${\displaystyle (g_{ij})}$ 表示，記作為G或g。而 ${\displaystyle g_{ij}}$ 記號傳統地表示度量張量的協變分量（亦為「矩陣元素」）。

${\displaystyle a}$ 到 ${\displaystyle b}$ 的弧線長度定义如下，其中参数定為t，t由a到b:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{ij}g_{ij}{\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}{\mathrm {d} x^{j} \over \mathrm {d} t}}}\mathrm {d} t}$

兩個切向量的夾角 ${\displaystyle \theta }$,設向量 ${\displaystyle \textstyle U=\sum _{i}u^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$ 和 ${\displaystyle \textstyle V=\sum _{i}v^{i}{\partial \over \partial x_{i}}}$，定義為：

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle u,v\rangle }{|u||v|}}={\frac {\sum _{ij}g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|\sum _{ij}g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|\sum _{ij}g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}}$

若 ${\displaystyle f}$ 為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式 ${\displaystyle G}$，由以下方程式計算得出：

${\displaystyle G=J^{T}J}$

${\displaystyle J}$ 表示 ${\displaystyle f}$ 的雅可比矩阵，它的轉置为 ${\displaystyle J^{T}}$。著名例子有 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 之間從極座標系 ${\displaystyle (r,\theta )}$ 到直角座標 ${\displaystyle (x,y)}$ 的座標變換，在這例子裡有：

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

${\displaystyle y=r\sin \theta }$

這映射的雅可比矩陣為

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

所以

${\displaystyle G=(g_{ij})=J^{\mathrm {T} }J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }$

這跟微積分裡極座標的黎曼度量, ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}}$，一致。

二維歐幾里德度量張量：

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

弧線長度轉為熟悉微積分方程式：

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\mathrm {d} t}$

在其他坐標系統的歐氏度量：

极坐标系：${\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )}$

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}}}$

圓柱坐標系：${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)}$

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

球坐標系：${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\phi ,\theta )}$

${\displaystyle (g_{ij})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}}}$

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论)：${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)\,}$

${\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

在一些習慣中，與上面相反地，時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號，故矩陣表示為：

${\displaystyle (g_{\mu \nu })=(\eta _{\mu \nu })\equiv {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

• 偽黎曼度量