σ-有限测度

• 勒贝格测度：实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集${\displaystyle \mathbb {R} }$的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是σ-有限测度，因为${\displaystyle \mathbb {R} }$可以表示为所有形如${\displaystyle [-n,n]}$的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于${\displaystyle 2n}$）：

  ${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{n=1}^{\infty }[-n,n].}$[1]^:24

• 计数测度：实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大[2]^:20-21。这个测度不是σ-有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集[2]^:30。不过，自然数集${\displaystyle \mathbb {N} }$上的计数测度就是σ-有限测度[2]^:29，因为全集${\displaystyle \mathbb {N} }$可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：

  ${\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\{n\}.}$

• 局部紧群：设${\displaystyle G}$是一个局部紧的拓扑群，并且是σ-紧致的，那么群${\displaystyle G}$上的哈尔测度是σ-有限测度[3]^:42。

σ-有限测度中，全集可以表示为${\displaystyle {\mathcal {A}}}$中的可数个有限测度子集的并集：${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}$，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;C_{n}=\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\in {\mathcal {A}},}$

那么${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\;\;\mu (C_{n})\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu (B_{k})}$，也就是说${\displaystyle \left(C_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$也是一系列有限测度的子集，并且${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots \subset C_{n}\subset C_{n+1}\subset \cdots }$，所以${\displaystyle \mu (C_{1})\leqslant \mu (C_{2})\leqslant \cdots \leqslant \mu (C_{n})\leqslant \mu (C_{n+1})\leqslant \cdots }$。随着下标增大，${\displaystyle C_{n}}$的测度越来越大，趋向正无穷大，并且${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }C_{n}}$。这称为全集的升序表示。而如果令：

${\displaystyle C_{0}=\varnothing ,\;\;\forall n\in \mathbb {N} ,\;\;D_{n}=C_{n}\setminus C_{n-1}\in {\mathcal {A}},}$，

那么${\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }D_{n}}$。${\displaystyle \left(D_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。

• 富比尼定理
• 叶戈罗夫定理
• 拉东-尼科迪姆定理