绝对连续

在数学中，绝对连续是一个光滑性质，比连续和一致连续都要严格。函数的绝对连续和测度的绝对连续都有定义。

函数的绝对连续

设(X, d)为一个度量空间，并设I为实直线R上的区间。函数f : I → X在I上绝对连续，如果对于每一个正数 $\varepsilon$ ，都存在一个正数 $\delta$ ，使得当I的两两不交的子区间[x_k, y_k]的（有限或无限）序列满足

\sum _{k}|y_{k}-x_{k}|<\delta

时，就有：

\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon .

所有从I到X的绝对连续函数的集合记为AC(I; X)。

一个进一步的推广是曲线f : I → X的空间AC^p(I; X)，使得：

d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,\mathrm {d} \tau

，对于所有的

[s,t]\subseteq I

对于L^p空间L^p(I; R)中的某个m。

如果f : [a,b] → R是绝对连续的，那么它便具有卢津N性质。也就是说，对于任何 $L\subseteq [a,b]$ 使得 $\lambda (L)=0$ ，都有 $\lambda (f(L))=0$ ，其中 $\lambda$ 表示R上的勒贝格测度。

如果μ和ν是相同测度空间上的测度，那么我们称μ关于ν绝对连续，如果对于每一个满足ν(A) = 0的集合A都有μ(A) = 0，记为“μ ≪ ν”。用符号来表示，就是：

\mu \ll \nu \iff \left(\nu (A)=0\implies \mu (A)=0\right).

测度的绝对连续是自反和传递的，但不是反对称的，因此它是一个预序关系，而不是偏序关系。如果μ ≪ ν且ν ≪ μ，那么测度μ和ν称为等价的。

如果μ是带号测度或复测度，那么我们称μ关于ν绝对连续，如果它的变差|μ|满足|μ| ≪ ν；等价地，如果每一个满足ν(A) = 0的集合A都是μ-零测集。

拉东-尼科迪姆定理说明，如果μ关于ν绝对连续，且ν是σ-有限测度的，那么μ便具有一个关于ν的密度，或“拉东-尼科迪姆导数”，这意味着存在一个ν-可测函数f，在[0, +∞)内取值，记为f = ^dμ⁄_dν，使得对于任何ν-可测集A，都有：

\mu (A)=\int _{A}f\,\mathrm {d} \nu .

在大部分应用中，如果我们只说n维欧几里得空间Rⁿ上的测度是绝对连续的，而不具体说明它是关于哪一个测度绝对连续的，那么通常就意味着是关于勒贝格测度绝对连续的。由于Rⁿ关于勒贝格测度是σ-有限的，因此Rⁿ上的绝对连续测度正好是具有密度的测度；特别地，绝对连续的概率测度正好是具有概率密度函数的测度。

实直线的波莱尔子集上的测度μ关于勒贝格测度绝对连续，当且仅当点函数

F(x)=\mu ((-\infty ,x])

是一个局部绝对连续的实函数。也就是说，一个函数是局部绝对连续的，当且仅当它的分布 (数学)|分布导数是一个测度，关于勒贝格测度绝对连续。

通过勒贝格分解定理，每一个测度都可以分解成一个绝对连续测度与一个奇异测度的和。关于非（绝对连续）的测度，参见奇异测度。

以下的函数是处处连续的，但不是绝对连续的：

f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{if }}x\neq 0\end{cases}}

；

Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G. . ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel. 2005. ISBN 3-7643-2428-7.
Royden, H.L. . Collier Macmillan. 1968. ISBN 0-02-979410-2.

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Nielsen, Ole A., , Wiley-Interscience, 1997, ISBN 0-471-59518-7
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