一笔画问题

连通的无向图 ${\displaystyle G}$ 有欧拉路径的充要条件是：${\displaystyle G}$中奇顶点（连接的边数量为奇数的顶点）的数目等于0或者2。

连通的无向图 ${\displaystyle G}$ 是欧拉环（存在欧拉回路）的充要条件是：${\displaystyle G}$中每个顶点的度都是偶数。[2]。

连通无向图有欧拉路径的充要条件也可以写作“图中奇顶点数目不多于2个”，这是因为奇顶点数目不可能是1个。实际上，连通无向图中，奇顶点的数目总是偶数。

对于不连通的无向图，如果有两个互不连通的部分都包含至少一条边，那么显然不能一笔画。只有当此图的边全都在某一个连通部分中（即其它的连通部分都是一个个孤立的顶点，度数为0），并满足连通无向图关于一笔画的充要条件，而该图才能一笔画。也即是说，可以一笔画的（无向）图如果不是连通图，就必定是一个可以一笔画的连通图与若干个孤立顶点的组合。

除了用顶点的度数作为判定的充要条件，还可以用图中边的特性来作为欧拉回路存在的判定准则。连通的无向图 ${\displaystyle G}$中存在欧拉回路，等价于图${\displaystyle G}$所有的边可以划分为若干个环的不交并。具体来说，等价于存在一系列的环${\displaystyle C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}}$，使得图${\displaystyle G}$里的每一条边都恰好属于某一个环。

如果连通无向图 ${\displaystyle G}$ 有 ${\displaystyle 2k}$ 个奇顶点，那么它可以用 ${\displaystyle k}$ 笔画成，并且至少要用 ${\displaystyle k}$ 笔画成[2]。

证明：[2][3]

将这 ${\displaystyle 2k}$ 个奇顶点分成 ${\displaystyle k}$ 对後分别连起，则得到一个无奇顶点的连通图。由上知这个图是一个环，因此去掉新加的边後至多成为 ${\displaystyle k}$ 条欧拉路径，因此必然可以用 ${\displaystyle k}$ 笔画成。但是假设全图可以分为 ${\displaystyle q}$ 条欧拉路径，则由定理一知，每条链中只有不多于两个奇顶点，于是 ${\displaystyle 2q\geq 2k}$。因此必定要 ${\displaystyle k}$ 笔画成。

对有向图来说，一笔画不仅指遍历所有边，而且要遵循正确的方向。严谨地说，一个连通有向图${\displaystyle G}$有欧拉路径，指存在一个顶点，从它出发，沿着有向边的方向，可以不重复地遍历图中所有的边。有向图的欧拉回路则是指可以从某一顶点开始，沿有向边的方向不重复地遍历所有边，然后回到原来出发的顶点。用类似于定理一中证明的思路，可以得到有向图一笔画的判定准则：

• 一个连通的有向图可以表示为一条从顶点${\displaystyle u}$到${\displaystyle v}$的（不闭合的）欧拉路径的充要条件是：${\displaystyle u}$的出度（从这个顶点发出的有向边的数量）比入度（指向这个顶点的有向边的数量）多1，${\displaystyle v}$的出度比入度少1，而其它顶点的出度和入度都相等。
• 一个连通的有向图是欧拉环（存在欧拉回路）的充要条件是以下两个之一：
  1. 每个顶点的出度和入度都相等；
  2. 存在一系列的（有向）环${\displaystyle C_{1},C_{2},\cdots ,C_{m}}$，使得图${\displaystyle G}$里的每一条边都恰好属于某一个环。

图一是七桥问题抽象化後得到的模型，由四个顶点和七条边组成。由於四个顶点全是奇顶点，由定理一（奇顶点的數目正好是0個或2個）可知无法一笔画成。

图二是中文“串”字。由于只有最上方和最下方的顶点是奇顶点，由定理一知它可以一笔寫成，圖片內給出了一個例子。

圖三的六角星因每個頂點都是偶頂點，如上，由定理一得知，不論是由哪個點出發，它都可以一筆畫成。

圖四（和圖五）的圖只有最左下方和最右下方的頂點是奇頂點，由定理一知它可以一筆畫成，由其中一個奇頂點畫到另一個奇頂點。