图论

有三個邊和三個頂點的圖。

圖論中，圖是有序對 ${\displaystyle G=(V,E)}$，其中 ${\displaystyle V}$ 是點集；${\displaystyle E\subseteq \left\{\left\{x,y\right\}:(x,y)\in V^{2},x\neq y\right\}}$ 是邊集，由所有無序頂點對構成（換句話說，邊連接了頂點對）。對於一個邊 ${\displaystyle \left\{x,y\right\}}$，頂點 ${\displaystyle x,y}$ 被稱作是邊的端點，邊則被稱為連接了此兩個點。

為了避免歧異，上述的定義被更精準地稱作無向簡單圖。

事實上可以推廣為更一般的定義：圖是有序三元組 ${\displaystyle G=(V,E,\phi )}$，其中 ${\displaystyle V}$ 是點集；${\displaystyle E}$ 是邊集（此時 ${\displaystyle E}$ 不再如前面限定是該集合的子集）；而 ${\displaystyle \phi :E\to \left\{\left\{x,y\right\}:(x,y)\in V^{2}\right\}}$ 將每個邊映射到一個無序頂點對（於是邊連接了頂點對）。此時的定義就允許自環、重邊的出現，其中自環是兩端點相同的邊，重邊是兩個或多個連接相同端點的邊。

為了避免歧異，上述的定義被更精準地稱作無向圖。

${\displaystyle V,E}$ 的元素個數通常都是有限的；並且如果個數是無限的，有許多著名的性質都发生变化，甚至不再正确。此外，${\displaystyle V}$ 通常不被接受是空集合，而 ${\displaystyle E}$ 則被接受為空集合。以下再給出一些圖論中的定義：圖的階是其頂點個數 ${\displaystyle |V|}$，圖的邊數是 ${\displaystyle |E|}$，頂點的度所有邊的端點中此頂點出現的次數（自環會被算兩次）。

子图同构问题：给定两个图${\displaystyle G}$和${\displaystyle H}$，问${\displaystyle G}$中是否存在一个子图与${\displaystyle H}$同構。这是一个NP完全问题。

• 哈密顿回路问题可视为一个子图同构问题，即给定一个${\displaystyle n}$个顶点的图，问是否存在一个子图与具有${\displaystyle n}$个顶点的圈同构。

一类相关的常见问题要求在给定图中寻找符合某些条件的最大子图，其中有很多是NP完全的，如：

• 分团问题：在给定图中寻找最大的团（NP完全）。

类似地，有些问题要求寻找符合某些条件的最大导出子图，如：

• 最大独立集问题：在给定图中寻找最大的无边的导出子图，亦即独立集（NP完全）。

平面图判定：判定给定的图是否是平面图（此问题与子图的关系，参见库拉托夫斯基定理）

一个尚未解决的与子图相关的猜想，重构猜想（）：一个n阶图是否能够由其所有n-1阶导出子图唯一确定？

• 点色数（）
• 边色数（）
• 色多项式

许多问题与将图以特定方式染色有关，如：

• 四色问题
• 完美图问题（）
• 列表染色问题，列表边染色问题
• 曲面染色

• 柯尼斯堡七桥问题
• 哈密顿回路问题
• 最小生成树问题
• 中国邮路问题
• 最短路问题
• 斯坦纳树
• 旅行商问题（NP困难）

• 最大流问题，最小割问题，最大流最小割定理
• 最小费用最大流问题
• 二分图及任意图上的最大匹配
• 带权二分图的最大权匹配

• 最大团
• 最大独立集
• 最小覆盖集
• 最小支配集

• Graph Theory with Applications (1976) by Bondy and Murty
• Phase Transitions in Combinatorial Optimization Problems, Section 3: Introduction to Graphs (2006) by Hartmann and Weigt
• Digraphs: Theory Algorithms and Applications（页面存档备份，存于） 2007 by Jorgen Bang-Jensen and Gregory Gutin
• Graph Theory, by Reinhard Diestel（页面存档备份，存于）

• Hazewinkel, Michiel (编), , , Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Graph theory tutorial（页面存档备份，存于）
• A searchable database of small connected graphs
• Image gallery: graphs
• Concise, annotated list of graph theory resources for researchers
• rocs（页面存档备份，存于） — a graph theory IDE
• Graph Theory Software（页面存档备份，存于）