一致收斂

當函數序列中的函數的對應域是 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 時，此時均勻收歛的定義為：

讓 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 是定義在 ${\displaystyle S}$ 上，對應域為 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$的一組函數序列，若序列 ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 均勻收歛至函數 ${\displaystyle f}$ 在集合 ${\displaystyle S}$ 上，即表示對所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得當所有 ${\displaystyle n\geq N}$ 且 ${\displaystyle x\in S}$ 時有

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon .}$

可將這定義推廣到一般的度量空間：

設 ${\displaystyle S}$ 為一集合，${\displaystyle (M,d)}$ 為度量空間。若對一組函數序列 ${\displaystyle f_{n}:S\to M}$，存在函數 ${\displaystyle f:S\to M}$ 滿足 對所有 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$，使得當所有 ${\displaystyle n\geq N}$ 且 ${\displaystyle x\in S}$ 時有

${\displaystyle d(f_{n}(x),f(x))<\epsilon ,}$

則稱序列 ${\displaystyle f_{n}}$ 一致收斂到 ${\displaystyle f}$。

注意到，一致收敛和逐点收敛定义的区别在于，在一致收敛中 ${\displaystyle N}$的選取仅与 ${\displaystyle \epsilon }$ 相关，而在逐点收敛中 ${\displaystyle N}$ 还多了与點 ${\displaystyle x}$ 相关。所以一致收敛必定逐点收敛，而反之则不然。

在[-1,1]上一致收斂到絕對值函數的多項式序列

例子一：對任何${\displaystyle [0,1]}$上的連續函數${\displaystyle f}$，考慮多項式序列

${\displaystyle P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right){n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}$

可證明${\displaystyle P_{n}}$在區間${\displaystyle [0,1]}$上一致收斂到函數${\displaystyle f}$。其中的${\displaystyle b_{k,n}(x):={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}}$稱為伯恩斯坦多項式。

透過坐标的平移與縮放，可知在任何閉區間上都能用多項式一致地逼近連續函數，這是斯通-维尔斯特拉斯定理的一個建構性證明。

逐點收斂而非一致收斂的例子

例子二：考慮區間${\displaystyle [0,\pi ]}$上的函數序列${\displaystyle f_{n}(x):=\sin ^{n}(x)}$，它逐點收斂到函數

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&,x\neq \pi /2\\1&,x=\pi /2\end{cases}}}$

然而這並非一致收斂。直觀地想像：當${\displaystyle x}$愈靠近${\displaystyle \pi /2}$，使${\displaystyle f_{n}(x)}$接近${\displaystyle 0}$所需的${\displaystyle n}$便愈大。可以依此想法循定義直接證明，也可以利用下節關於連續的性質證明，因為在此例中${\displaystyle f_{n}(x)}$皆連續，而${\displaystyle f(x)}$不連續。

讓 ${\displaystyle (f_{n})}$ 為一組函數序列，對應域為 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 或 ${\displaystyle \mathbb {C} }$，此時有下述性質：

• 連續性：若函數序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均勻收歛至函數 ${\displaystyle f}$，則有：

1. 假設函數序列的定義域是闭包（closure）集合 ${\displaystyle I}$，且 ${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle I}$ 的中的一點。若每個 ${\displaystyle f_{n}}$ 都在 ${\displaystyle a}$ 點連續，則 ${\displaystyle f}$ 也在 ${\displaystyle a}$ 點連續。
2. 若对集合 ${\displaystyle I}$ 的每個緊緻子集 ${\displaystyle J}$，每個 ${\displaystyle f_{n}}$ 都在 ${\displaystyle J}$ 上連續，則 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle I}$ 上連續。

• 與積分的交換：令 ${\displaystyle (f_{n})}$ 為定義在緊緻區間 ${\displaystyle I}$ 的函數序列，且序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均勻收歛至函數 ${\displaystyle f}$。若每個 ${\displaystyle f_{n}}$ 都是黎曼可積，則 ${\displaystyle f}$ 也是黎曼可積，而且

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\mathrm {d} x=\int _{S}f\,\mathrm {d} x.\quad \quad }$[註 2]

• 與微分的交換：可微函數序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均勻收歛至函數 ${\displaystyle f}$，並不能保證 ${\displaystyle f}$ 是可微的，還需要對該函數序列的微分，${\displaystyle (f'_{n})}$，做些限制，請參看以下定理：

讓 ${\displaystyle (f_{n})}$ 為定義在閉區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 的可微函數序列，且存在一點 ${\displaystyle x_{0}\in [a,b]}$ 使得極限 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x_{0})}$ 存在（且有限）。若序列的微分 ${\displaystyle (f'_{n})}$ 在區間 ${\displaystyle [a,b]}$ 一致收斂到函數 ${\displaystyle g}$，則序列 ${\displaystyle (f_{n})}$ 均勻收歛至函數 ${\displaystyle f}$ 且 ${\displaystyle f}$ 亦是可微函數，且有：

${\displaystyle f'=g=\lim _{n\to \infty }f'_{n}}$。

• Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series; Blackie and Son, London, 1954, reprinted by Dover Publications, ISBN 0-486-66165-2.
• G.H. Hardy, Sir George Stokes and the concept of uniform convergence; Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, pp. 148-156（1918）
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology. Chapters 5-10（Paperback）; ISBN 0-387-19374-X