覆疊空間

覆疊空間的例子：${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$

• 考慮映射${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$，${\displaystyle p(x)=e^{2\pi ix}}$。對任意${\displaystyle s=e^{2\pi it}\in \mathbb {S} ^{1}}$，取其開鄰域

${\displaystyle U:=\{e^{2\pi is}:|s-t|<{\frac {1}{2}}\}\simeq (-1/2,1/2)}$

${\displaystyle f:(-1/2,1/2)\times \mathbb {Z} {\stackrel {\sim }{\to }}p^{-1}(U),\quad f(t,n)=t+n}$

由此可見${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$是覆疊映射。

• 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times [0,1]}$。

局部性质 对于任何一个覆叠${\displaystyle p:C\to X}$都是一个局部同胚，这就是说，对任意的${\displaystyle c\in C}$，都存在一个在C中的开邻域U，和p(c)在X中的开邻域V，使得p在U上的限制诱导U到V上的同胚。这说明C和X在局部上的拓扑性质是一样的。如果X是单连通的且C是连通的，则在整体上也成立，并且覆叠p变为同胚。 纤维上的同胚

連通空間${\displaystyle X}$的萬有覆疊空間（若其存在）是範疇${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$的初始對象${\displaystyle u:{\tilde {X}}\to X}$，換言之，對每個覆疊${\displaystyle p:X'\to X}$，存在唯一的連續映射${\displaystyle f:{\tilde {X}}\to X'}$使得${\displaystyle p\circ f=u}$。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {S} ^{1}}$便是一例。

若要求${\displaystyle X}$局部道路連通且局部單連通，則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形和單純複形。在同樣前提下，覆疊${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$是萬有覆疊的充要條件是基本群${\displaystyle \pi _{1}({\tilde {X}},*)=\{e\}}$。

以下同樣要求${\displaystyle X}$連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): p:Y\to X ，選定${\displaystyle x\in X}$。在${\displaystyle \mathbf {Cov} _{X}}$中的自同構群${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$在纖維${\displaystyle p^{-1}(x)}$上的作用是自由的（即：${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)\to \mathrm {Aut} (p^{-1}(x))}$是單射），對於${\displaystyle x\in X}$的不同選取，此作用僅差個自然的同構。

若${\displaystyle \mathrm {Aut} (p)}$的作用是傳遞的，則稱${\displaystyle p:Y\to X}$為正則覆疊。萬有覆疊必正則，反之則不然。按照纖維叢的觀點，覆疊空間正是離散纖維的纖維叢，正則覆疊對應到主叢。

• Hatcher, Allen. . Cambridge University Press. 2002 [2008-05-15]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-19）.