满射

函數${\displaystyle g:Y\to X}$稱為函數${\displaystyle f:X\to Y}$的右逆，意思是${\displaystyle f(g(y))=y}$對${\displaystyle Y}$的所有元素${\displaystyle y}$成立。簡而言之，${\displaystyle g}$的效果，可以${\displaystyle f}$復原。用文字表示，${\displaystyle g}$是${\displaystyle f}$的右逆，意思是先做${\displaystyle g}$後做${\displaystyle f}$的複合${\displaystyle f\circ g}$，等於${\displaystyle Y}$上的恆等函數，即不造成任何變化。此處不要求${\displaystyle g}$是${\displaystyle f}$的真正反函數，因為另一次序的複合${\displaystyle g\circ f}$，不必是${\displaystyle X}$的恆等函數。換言之，${\displaystyle f}$可以「復原」或「抵消」${\displaystyle g}$，但不必被${\displaystyle g}$復原或抵消。

若函數有右逆，則必為滿射。但反之，「每個滿射皆有右逆」此一命題，等價於選擇公理，故在某些集合論中（例如假設決定公理為真的集合論系統），不必為真。

若${\displaystyle f:X\to Y}$為滿射，${\displaystyle B}$為${\displaystyle Y}$的子集，則${\displaystyle f(f^{\mathrm {pre} }(B))=B}$，即從預象${\displaystyle f^{\mathrm {pre} }(B)}$，可以找回${\displaystyle B}$。

函數${\displaystyle f:X\to Y}$是滿射，當且僅當其為右可消去：[2]給定任何兩個有公共定義域和陪域的函數${\displaystyle g,h:Y\to Z}$，若${\displaystyle g\circ f=h\circ f}$，則有${\displaystyle g=h}$。此性質的敍述用到函數和複合，可以對應推廣成範疇的態射和複合。右可消的態射稱為滿態射或滿同態。滿射與滿態射的關係在於，滿射就是集合範疇中的滿態射。

範疇論中，有右逆的態射必為滿態射，但反之則不然。態射${\displaystyle f}$的右逆${\displaystyle g}$也稱為${\displaystyle f}$的截面。而有右逆的態射稱為分裂滿態射，是一類特殊的滿態射。

以${\displaystyle X}$為定義域，${\displaystyle Y}$為值域的函數，可以視為兩集合之間的左全右唯一的二元關係，因為可將函數與圖像等同。此觀點下，由${\displaystyle X}$到${\displaystyle Y}$的滿射，是右唯一而既左全又右全的關係。

滿射的定義域，必有大於或等於其陪域的基數：若${\displaystyle f:X\to Y}$為滿射，則${\displaystyle X}$的元素個數必定至少等於${\displaystyle Y}$的元素個數（在基數意義下）。但此結論的證明，需要假定選擇公理，以證明${\displaystyle f}$有右逆，即存在函數${\displaystyle g:Y\to X}$使得${\displaystyle f(g(y))=y}$對${\displaystyle Y}$的任意元素${\displaystyle y}$成立。滿足此性質的${\displaystyle g}$必為單射，故由基數大小比較的定義，有${\displaystyle |Y|\leq |X|}$。

特別地，若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$皆是有限，且兩者的元素個數相同，則${\displaystyle f:X\to Y}$是滿射當且僅當${\displaystyle f}$為單射。

給定兩個集合${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，以${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$表示「或者${\displaystyle X}$為空，或者存在由${\displaystyle Y}$至${\displaystyle X}$的滿射」。利用選擇公理，可以證明，${\displaystyle X\leq ^{*}Y}$和${\displaystyle Y\leq ^{*}X}$兩者一起，足以推出${\displaystyle |Y|=|X|}$。此為康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理的變式。

兩個滿射的複合仍是滿射：若${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$皆為滿射，且${\displaystyle g}$的陪域是${\displaystyle f}$的定義域，則${\displaystyle f\circ g}$也是滿射。反之，若${\displaystyle f\circ g}$為滿，則${\displaystyle f}$是滿射，但${\displaystyle g}$不必為滿射。與右可消去一節一樣，從集合範疇的滿射，可以推廣到一般範疇的滿態射。

任何函數都可以分解成一個滿射與一個單射的複合：對任意${\displaystyle h:X\to Z}$，都存在滿射${\displaystyle f:X\to Y}$和單射${\displaystyle g:Y\to Z}$使得${\displaystyle h=g\circ f}$，取法如下：定義${\displaystyle Y}$為所有原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$的集合，其中${\displaystyle z}$歷遍${\displaystyle h}$的值域。該些原像兩兩互斥，且劃分${\displaystyle X}$。於是，${\displaystyle f}$將每個${\displaystyle x}$映到包含${\displaystyle x}$的原像（此為${\displaystyle Y}$的元素），然後${\displaystyle g}$再將${\displaystyle Y}$的每個元素（形如${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$）映到相應的${\displaystyle z}$。則${\displaystyle f}$為滿射（因為${\displaystyle Y}$中的元素，是原像${\displaystyle h^{\mathrm {pre} }(z)}$，且非空，故有某個${\displaystyle x\in h^{\mathrm {pre} }(z)}$，所以由${\displaystyle f}$的定義有${\displaystyle f(x)=h^{\mathrm {pre} }(z)}$），而根據${\displaystyle g}$的定義，其為單射。

任何函數，若將其陪域限制成值域，則可以視為滿射，稱為其導出滿射。任何滿射，若將定義域換成商集，即將函數值相同的參數，摺疊成同一個「等價類」，則得到一個雙射，其由等價類組成的集合，射去原函數的陪域。以符號表示，每個滿射${\displaystyle f:A\to B}$可以分解成先做一個商映射，再做一個雙射。考慮以下等價關係：${\displaystyle x\sim y}$當且僅當${\displaystyle f(x)=f(y)}$。以${\displaystyle A/{\sim }}$表示此等價關係下，${\displaystyle A}$的等價類的集合。換言之，${\displaystyle A/{\sim }}$是${\displaystyle f}$所有原像的集合。以${\displaystyle P:A\to A/{\sim }}$表示將${\displaystyle x}$映到等價類${\displaystyle [x]_{\sim }}$的商映射，又設${\displaystyle f_{P}:A/{\sim }\to B}$，定義為${\displaystyle f_{P}([x]_{\sim })=f(x)}$，則${\displaystyle f=f_{P}\circ P}$。由定義知，${\displaystyle P}$是滿射，而${\displaystyle f_{P}}$是雙射。