三角矩阵

一个上（下）三角矩阵是严格上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为零。所有的是严格上（下）三角矩阵也形成一个子代数。所有的严格三角矩阵都是幂零矩阵。

一个上（下）三角矩阵是单位上（下）三角矩阵当且仅当其主对角线上的系数都为1。单位三角矩阵都是幺幂矩阵。

高斯矩阵是是单位三角矩阵中的一种，除了一列的系数以外，其他系数都是零。这类矩阵是高斯消去法中基本操作的矩阵体现，因此也叫做基元矩阵或高斯变换矩阵。一个下三角的高斯矩阵为：

${\displaystyle \mathbf {L} _{i}={\begin{bmatrix}1&&&\dots &&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\vdots \\&&0&l_{i+1,i}&1&&&\vdots \\\vdots &&0&l_{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&l_{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}}}$

高斯矩阵的逆仍然是高斯矩阵。实际上，

${\displaystyle \mathbf {L} _{i}^{-1}={\begin{bmatrix}1&&&\dots &&&&0\\0&\ddots &&&&&&\\0&\ddots &1&&&&&\\0&\ddots &0&1&&&&\vdots \\&&0&-l_{i+1,i}&1&&&\vdots \\\vdots &&0&-l_{i+2,i}&0&\ddots &&\\&&\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1&\\0&\dots &0&-l_{n,i}&0&\dots &0&1\\\end{bmatrix}}}$ ，

即是说一个高斯矩阵的逆是将其非对角线上元素加上负号后得到的矩阵。

每个复系数矩阵都与一个三角矩阵相似[1]。实际上，如果矩阵A的特征值都包含于其系数域中（比如一个代数闭域），那么A相似于一个三角矩阵。这个性质可以用归纳法证明。一个更进一步的结论是由若尔当标准形定理得出，说明了A实际上相似于一个十分特别的上三角矩阵（若尔当形）[1][2]。

在复系数的情况下，每个方阵A都有一个舒尔分解，即A酉相似（即在酉矩阵的基变换下）于一个上三角矩阵。

求三角矩阵的逆比求一般矩阵的逆要简单很多，可以直接逐个元素算出，而不必用高斯消去法。

一般用L来做下三角矩阵的记号，因为英文中的“下”为“Lower”，首字母为L。同样的，上三角矩阵的记号通常是U(Upper)。

矩阵方程Lx = b可以清楚地写成：

${\displaystyle {\begin{matrix}l_{1,1}x_{1}&&&&&=&b_{1}\\l_{2,1}x_{1}&+&l_{2,2}x_{2}&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &\ddots &&&\vdots \\l_{m,1}x_{1}&+&l_{m,2}x_{2}&+\dotsb +&l_{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

首先解第一行：${\displaystyle l_{1,1}x_{1}=b_{1}}$，得到${\displaystyle x_{1}}$的值。将其带入第二行的方程，就可解出${\displaystyle x_{2}}$。已知${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$后代入第三行就可求出${\displaystyle x_{3}}$……依此便可解出全部未知数。

将表达式写出就是

${\displaystyle x_{1}={\frac {b_{1}}{l_{1,1}}},}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {b_{2}-l_{2,1}x_{1}}{l_{2,2}}},}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{m}={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}l_{m,i}x_{i}}{l_{m,m}}}}$。

用向前替换法解方程Lx = b道理相同，只不过要从后解起。

在金融方面，向后替换法被运用在步步为营法中，用来构造收益曲线。