不可數集

不可数集有许多等价的定義。一个集合${\displaystyle X}$是不可数集，当且仅当以下任何一个条件成立：

• 不存在从${\displaystyle X}$到自然数集合的单射函数。
• ${\displaystyle X}$的基数既不是有限的，又不等于${\displaystyle \aleph _{0}}$（阿列夫-0，自然数集合的基数）。
• ${\displaystyle X}$的基数严格大于${\displaystyle \aleph _{0}}$。

• 如果不可数集${\displaystyle X}$是集合${\displaystyle Y}$的子集，则${\displaystyle Y}$是不可数集。

不可数集的最广为人知的例子，是所有实数的集合${\displaystyle \mathbb {R} }$；对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的，例如所有自然数的无穷序列的集合（甚至是所有由0和1所组成的无穷序列的集合），以及自然数集合的所有子集所组成的集合。${\displaystyle \mathbb {R} }$的基数通常记为${\displaystyle c}$、${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$，或${\displaystyle \beth _{1}}$。

康托尔集是${\displaystyle \mathbb {R} }$的一个不可数子集。它是一个分形，其豪斯多夫维大于零，但小于一（${\displaystyle \mathbb {R} }$的维数是一）。这是以下事实的一个例子：如果${\displaystyle \mathbb {R} }$的某個子集有严格大于零的豪斯多夫维，那麼它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子，是所有从${\displaystyle \mathbb {R} }$到${\displaystyle \mathbb {R} }$的函数的集合。这个集合比${\displaystyle \mathbb {R} }$更“不可数”，因为它的基数是${\displaystyle \beth _{2}}$，它比${\displaystyle \beth _{1}}$还要大。

一个更加抽象的例子，是所有可数序数的集合，记为${\displaystyle \Omega }$或${\displaystyle \omega _{1}}$。${\displaystyle \Omega }$的基数记为${\displaystyle \aleph _{1}}$。利用选择公理，可以证明${\displaystyle \aleph _{1}}$是最小的不可数基数。于是，实数的基数${\displaystyle \beth _{1}}$，要么等于${\displaystyle \aleph _{1}}$，要么严格比它大。康托尔是第一个提出${\displaystyle \beth _{1}}$是否等于${\displaystyle \aleph _{1}}$的问题的人。在1900年，希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。${\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}}$的陈述现在称为连续统假设，現已知道它獨立于集合论的ZF公理（包括选择公理）。

• 可数集
• 阿列夫数
• 自然数
• 单射函数

• Halmos, Paul，Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

• 证明R是不可数集 （页面存档备份，存于）