丟番圖集

若有一些整係數多項式${\displaystyle f(n_{1},...,n_{j},x_{1},...,x_{k})}$，存在整數${\displaystyle x_{1},...,x_{k}}$使得${\displaystyle f(n_{1},...,n_{j},x_{1},...,x_{k})=0}$（一個丟番圖方程）若且唯若整數多元組${\displaystyle (n_{1},...,n_{j})}$屬於集${\displaystyle S}$，則稱${\displaystyle S}$為丟番圖集。這可以寫成

${\displaystyle S=\{\,(n_{1},\dots ,n_{j}):\exists x_{1}\,\dots \,\exists x_{k}\,f(n_{1},\dots ,n_{j},x_{1},\dots ,x_{k})=0\,\}}$，其中f是整係數多項式。

因為拉格朗日四平方和定理，可以將上述定義中的「整數」限制為「非負整數」。

例如：因為若${\displaystyle n,x}$是正整數， ${\displaystyle (n^{2}-xn-x^{2})^{2}-1=0}$成立時，${\displaystyle n}$必是斐波那契數，因此所有斐波那契數的集是丟番圖集。

1970年，馬蒂雅謝維奇定理被證明。它說明一個集是丟番圖集若且唯若它是遞歸可枚舉集合，解決了希爾伯特第十問題。

有許多集都可以表示為丟番圖集，包括質數集（页面存档备份，存于）。

若有函數${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{j}\to \mathbb {Z} }$，使得 ${\displaystyle \{(n_{1},...,n_{j},f(n_{1},...,n_{j})\,):\forall n_{i}\in \mathbb {Z} \}}$ 為丟番圖集，則稱${\displaystyle f}$為丟番圖函數。