希爾伯特第十問題

不定方程是指含任意數量變元的整係數多項式方程

${\displaystyle P(x_{1},x_{2},...,x_{k})=\sum _{0\leq i_{j}\leq n_{j}}a_{i_{1}i_{2}...i_{k}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}...x_{k}^{i_{k}}=0}$　　　　　${\displaystyle 1\leq j\leq k}$

這裡${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}...i_{k}}}$都是正整數、負整數或零，而變元${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}}$的定義域是自然數或整數。若能找到整數${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{k}}$，使得

${\displaystyle P(m_{1},m_{2},...,m_{k})=0}$

則稱此不定方程具有整數解。例如：

${\displaystyle P(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}}$

則(3,4,5)、(5,12,13)等都是它的整數解。事實上可找出它所有的整數解：${\displaystyle a=k(m^{2}-n^{2}),b=2kmn,c=k(m^{2}+n^{2})}$，其中${\displaystyle k,m,n\in \mathbb {N*} ,m>n}$。這是著名的勾股定理或稱畢式定理。

著名的費馬最後定理，是說當${\displaystyle n>2}$時，方程式

${\displaystyle P(x,y,z)=x^{n}+y^{n}-z^{n}=0}$

沒有非零整數解。

自然数，自然数对（或具有自然数的n-元组）的有丟番图定义的集合被称为丟番图集。丟番图定义可以由方程组或单个方程给出，因为方程组

${\displaystyle p_{1}=0,\ldots ,p_{k}=0\,}$

等价于单个方程：

${\displaystyle p_{1}^{2}+\cdots +p_{k}^{2}=0.\,}$

递归可枚举集可以被描述为一个集合，对其存在一种算法，对这个算法，当集合的一个成员被输入时最终会停机，但一个非成员被输入时会不确定的继续。是可计算性理论（亦即递归论）给出了算法可计算性的直觉符号的精确解释，因而使得递归可枚举性的符号具有完美的严格性。显然，丟番图集是递归可枚举的。因为可以排列所有可能的未知数的值的多元组为一个序列，然后对于一个给定的参数值，一个接一个的测试这些多元组，看他们是否是相应方程的解。希尔伯特第十问题的不可解性源于令人惊讶的事实──其逆命题成立：

每个递归可枚举集都是丟番图集。

这一结果即马季亚谢维奇定理（由他提供的完成证明的关键步骤）和MRDP定理（即尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich），朱莉娅·罗宾逊（Julia Robinson），马丁·戴维斯（Martin Davis）和希拉里·普特南（Hilary Putnam）各人姓氏的首字母缩写）。因为“存在一个递归可枚举集是不可计算的”，希尔伯特第十问题的不可解性是其直接后果。实际上，还有更多的结论：有一个多项式

${\displaystyle p(a,x_{1},\ldots ,x_{n})}$

有整数系数使对于方程

${\displaystyle p(a,x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$

有自然数解的${\displaystyle a}$的值的集合不可计算。因此，不仅没有一般的算法测试丟番图方程可解性，甚至也没有算法来测试单一参数家族的方程。