倒数

英語:)又稱乘法逆元()、乘法逆元素[1],在数学中,是与其原数相乘为1的;即某数 的倒数,是一個与 1的数,记为

Diagrammatic representation of limits approaching infinity
倒数函数:。对除了之外的每一个值,即为其倒数。其图像为直角双曲线

抽象代数中,倒数所对应的抽象化概念是乘法的某个元素的“乘法逆”,也就是相对于群中“乘法”运算的逆元素[註 1]

汉语中,名词倒数一般用来表示数字的乘法逆,一般在各种数域如:有理数实数复数,以及模n同余类所构成的乘法群中使用。在复数域(实数域)中,每个除了0以外的复数(实数)都存在倒数:只要用某个数自身1(也就是说用1除以某个数),即可得到它的倒数。用数学记号表示的话:

一个非零的复数(实数)的倒数定义为使得成立的复数(实数),记作
例如,的倒数是,因为[2]

每个复数(实数)只有一个倒数。一般来说,并不是对所有的代数结构中的乘法运算,每个元素都存在其乘法逆,如对矩阵乘法来说,小于阶数的矩阵就没有乘法逆,或者在中,元素3和18也沒有乘法逆。一个环中的一个元素有乘法逆当且仅当它是可逆元,而它的乘法逆是唯一的当且仅当它不是一个零因子,或者说当它是一个正则元。每个非零元素都有乘法逆的环称为除环。每个非零元素都至多有一个乘法逆的环称为无零因子环

負倒數

乘積為-1的兩個實數互為負倒數,實數x的負倒數記為。一個實數的倒數和其負倒數是相反數,而0沒有倒數或負倒數。

参考资料

参见

注释

  1. 此术语仅当相应群中的运算为“乘法”才使用;若群中的运算为“加法”,则此概念称为“加法逆”。乘法逆的具体定义可以参见群的逆元素概念。
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