五色定理

以下是对五色定理的证明[1]。

给定${\displaystyle n}$阶平面图${\displaystyle G}$，我们对${\displaystyle G}$的阶数进行归纳证明。

当${\displaystyle n\leq 5}$时，正确性显然。

假设${\displaystyle n\geq 6}$且对于任意的${\displaystyle n-1}$阶平面图该结论成立。因为${\displaystyle G}$是平面图，那么存在点${\displaystyle v\in V(G)}$，满足${\displaystyle d(v)\leq 5}$（通过欧拉公式可知对任意平面图${\displaystyle G}$，${\displaystyle \delta (G)\leq 5}$）。

考虑图${\displaystyle G':=G-v}$。因为${\displaystyle |G'|=n-1}$，由归纳假设知${\displaystyle G'}$能进行5-着色。假设${\displaystyle G'}$使用${\displaystyle 1,2,3,4,5}$五种颜色着色。考虑${\displaystyle v}$的相邻点，如果在${\displaystyle G'}$中它们用了不到五种颜色着色，那么我们从剩下的颜色中选一个为${\displaystyle v}$着色，就得到了${\displaystyle G}$的一个5-着色方式。如果在${\displaystyle G'}$中它们用上了所有五种颜色，这就意味着${\displaystyle v}$有且仅有5个相邻点（${\displaystyle d(v)\leq 5}$），从顺时针方向我们依次称它们为${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4},w_{5}}$，不失一般性，假设${\displaystyle w_{i}}$的颜色为${\displaystyle i}$。

我们希望通过调整${\displaystyle G'}$的着色方式，使得${\displaystyle v}$有色可染。考虑${\displaystyle G'}$中所有颜色为${\displaystyle 1}$或${\displaystyle 3}$的点。

1. 如果${\displaystyle G'}$中不存在这样一条连接${\displaystyle w_{1}}$与${\displaystyle w_{3}}$的路径，路径上所有点的颜色均为${\displaystyle 1}$或${\displaystyle 3}$。定义${\displaystyle H\subseteq G'}$是满足以下条件的所有路径的并集：以${\displaystyle w_{1}}$为起点且路径上所有点的颜色均为${\displaystyle 1}$或${\displaystyle 3}$。注意到${\displaystyle (w_{3}\cup N(w_{3}))\cap V(H)=\emptyset }$。此时我们可以将${\displaystyle H}$中所有点的颜色互换：把${\displaystyle 3}$换成${\displaystyle 1}$，把${\displaystyle 1}$换成${\displaystyle 3}$。交换之后也是${\displaystyle G'}$的一个5-着色方式。此时${\displaystyle w_{1}}$的颜色变成了${\displaystyle 3}$，我们将${\displaystyle v}$染为${\displaystyle 1}$。因此，${\displaystyle G}$能进行5-着色。
2. 如果${\displaystyle G'}$中存在这样一条连接${\displaystyle w_{1}}$与${\displaystyle w_{3}}$的路径，路径上所有点的颜色均为${\displaystyle 1}$或${\displaystyle 3}$，我们称之为${\displaystyle P}$。注意到${\displaystyle P}$与${\displaystyle v}$共同形成了一个环，这个环要么把${\displaystyle w_{2}}$要么把${\displaystyle w_{4}}$圈在里面。此时我们发现，不存在这样一条连接${\displaystyle w_{2}}$与${\displaystyle w_{4}}$的路径，路径上所有点的颜色均为${\displaystyle 2}$或${\displaystyle 4}$。我们只需按照情况1中的方式调整颜色即可。因此，${\displaystyle G}$能进行5-着色。

综上所述，${\displaystyle G}$能进行5-着色。

• Heawood, P. J., , Quarterly Journal of Mathematics, Oxford 24, 1890, 24: 332–338

1. Harris, John; Hirst, Jeffry L.; Mossinghoff, Michael, , Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag New York: 98–99, 2008, ISBN 978-0-387-79711-3, doi:10.1007/978-0-387-79711-3