五角数

利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$

• 若n是自然數，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。
• 若n不是自然數，則x不是五邊形數。

依照費馬多邊形數定理，任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和[1]。在小於${\displaystyle 10^{6}}$的整數中，只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示：

9, 21, 31, 43, 55, 89 （OEIS數列A133929）

廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是n可以為負數和零，n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，廣義五邊形數也可以用下式表示：

${\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}\pm n}{2}}}$

n 依序為0, 1, 2, 3, 4...，

其產生的數列如下：

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)

在歐拉的整數分拆理論中，五邊形數定理說明廣義五邊形數和整數分拆的關係。

用第n個五邊形數（n>2）排列組成的正五邊形，外圍點的個數有${\displaystyle 5(n-1)}$個，因此在內部的點個數為：

${\displaystyle {\frac {3n^{2}-n}{2}}-5(n-1)={\frac {3n^{2}-11n+10}{2}}={\frac {(3n-5)(n-2)}{2}}={\frac {3(n-2)^{2}+(n-2)}{2}}}$

剛好也是一個廣義五邊形數。

所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和[1]。

若三角形數可以被3整除，則除以3之後的數必為廣義五邊形數[2]。

廣義五邊形數和中心六邊形數有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出，並且從中間將正六邊形分為二個梯形，較大的梯形可以表示為五邊形數，而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數，因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和（五邊形數也是廣義五邊形數的一種）：

1=1+0		7=5+2		19=12+7		37=22+15

一般來言：

${\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n)[3(1-n)-1]}$

等式右側為二個廣義五邊形數，且第一項是五邊形數(n ≥ 1)。

• 五邊形數定理

• Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers

• Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung（页面存档备份，存于）（德文）

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