交错多项式

对称多项式与交错多项式（具有相同的变量${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$）之积有如下表现：

• 两对称多项式之积仍是对称的；
• 对称多项式与交错多项式之积是交错的；
• 两交错多项式之积是对称的。

这正是奇偶性的加法表，“对称”对应“偶”，“交错”对应“奇”。于是，对称多项式与交错多项式的直和构成了超代数（${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-分次代数），其中对称多项式是偶部，交错多项式是奇部。分次与多项式的次数无关。

交错多项式在对称多项式代数上形成了模（超代数的奇部是偶部上的模）；事实上，它是秩为1的自由模，以n元范德蒙多项式为生成子。

若系数环的特征为2，则这两个概念没有区别，即交错多项式就是对称多项式。

基本交错多项式是范德蒙多项式：

${\displaystyle v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).}$

这显然是交错的，交换两变量会改变其中一项的符号，而不改变其他项的符号。[2]

交错多项式正是范德蒙多项式乘以对称多项式：${\displaystyle a=v_{n}\cdot s}$，其中s是对称多项式。这是因为：

• ${\displaystyle v_{n}}$是每个交错多项式的因式：${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$是每个交错多项式的因式，因为如果${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$，则多项式为零（交换它们不会改变多项式，所以得到

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),}$

于是${\displaystyle (x_{j}-x_{i})}$是因式），于是${\displaystyle v_{n}}$是因式。

• 交错多项式乘以对称多项式仍是交错多项式，于是${\displaystyle v_{n}}$的所有倍数都是交错多项式。

相反，两交错多项式相除是（可能有理的）对称多项式（不必是多项式），而交错多项式除以范德蒙多项式是多项式。舒尔多项式就是这样定义的，即交错多项式除以范德蒙多项式。

从表示论视角来看，对称与交错多项式是对称群在n元多项式环的n个字母上的作用的子表示。（形式上，对称群作用于n个字母，因此也作用于导出对象，如n个字母上的自由对象——多项式环之类。）

对称群有2个1维表示：平凡表示与符号表示。对称多项式是平凡表示，交错多项式是符号表示。形式上，任何对称（或交错）多项式的标量跨度（scalar span）是对称群的平凡（或符号）表示，多项式的乘法张量就是表示。

特征为2时，这些并不是不同的表示，分析就复杂了。

若${\displaystyle n>2}$，对称群对多项式环的作用还有其他子表示，这在对称群表示定理中有讨论。

交错多项式是不稳定的现象：n元对称多项式环可从任意多元对称多项式环得到，方法是计算${\displaystyle x_{n}}$以上的变量对应的值设为0，因此对称多项式的定义是“稳定”或“兼容”的。然而，交错多项式，尤其范德蒙多项式却并非如此。

• 对称多项式
• 欧拉类

1. Giambruno & Zaicev (2005)，第12頁.
2. 对其他项，只是重排了：${\displaystyle n=3}$情形，交换${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$会将${\displaystyle (x_{2}-x_{1})}$变为${\displaystyle (x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})}$，并将${\displaystyle (x_{3}-x_{1})}$与${\displaystyle (x_{3}-x_{2})}$互换，但不改变其符号。

• Giambruno, Antonio; Zaicev, Mikhail. 122. American Mathematical Society. 2005.
• The fundamental theorem of alternating functions, by Matthieu Romagny, September 15, 2005