代數擴張

代数扩张（英語：）是抽象代數中域扩张的一类。一個域擴張 $L/K$ 被稱作代數擴張，若且唯若 $L$ 中的每个元素都是某个以 $K$ 中元素为系数的非零多項式的根。反之則稱之为超越擴張。最簡單的代數擴張例子有： $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ 、 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 。

定义

代数扩张的基础是代数元的概念。给定域扩张 $L/K$ ， $L$ 某个元素如果是一个以 $K$ 中元素为系数的非零多項式的根，则称其为 $K$ 上的代数元。如果 $L$ 中所有元素都是 $K$ 上的代数元，就称域扩张 $L/K$ 为代数扩张。

次數

設有域擴張 $L/K$ ， $L$ 可以看作是 $K$ 上的向量空間，将其維度稱作這個擴張的次數，记作[ $L$ : $K$ ]。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張 $L/K$ ，則 $L$ 裡的任一元素 $α$ 生成的子擴張 $K(α)/K$ 都是 $K$ 的有限擴張。但代数扩张本身并不一定是有限扩张，一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。

代數擴張與多項式的根

在一個代數擴張 $L/K$ 中， $L$ 中的每個元素 $α$ 都是某個以 $K$ 中元素为系数的多項式（以下简称 $K-$ 多项式，所有 $K-$ 多项式的集合记作 $K [X]$ ） $f$ 的根。所有以 $α$ 为根的 $K-$ 多項式中次數最低者稱作 $α$ 的极小多項式（通常要求其为首一多项式，即最高次项係數等於一，以保證唯一性）。极小多項式總是不可约多項式。

若 $K-$ 多项式 $f$ 不可約，則商環 $L := .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}K[X]/( f )$ 是 $K$ 的一個域擴張，它的次数 $[L : K] = deg(f)$ ，而且不定元 $X$ 在商环中的像是在 $f$ 的一個在 $L$ 中的根，其极小多項式正是 $f$ 。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如 $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ 就是在实数域中添加了虚数单位 $i$ 得到的扩域：複數域 $\mathbb {C}$ 。

给定域扩张 $L/K$ ，如果 $K-$ 多项式 $f$ 可以在 $L$ 中分解成一次因子的積，則稱 $f$ 在 $L$ 中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個足夠大的代數擴張 $K'/K$ 使得 $f$ 分裂； $K'$ 裡滿足此性質的“最小”子擴張稱作 $f$ 在 $K$ 上的分裂域。 $f$ 在 $K$ 上的任兩個分裂域至多差一個 $K$ 上的同構（即：一個限制在 $K$ 上的部分為恆等映射的環同構）。

正規擴張

正规扩张是研究多项式的根时所用到的概念。一個代數擴張 $L/K$ 被稱作正規擴張，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

固定代數閉包 $K alg$ ，任何 $K$ 上的（即在 $K$ 上是恆等映射的）域嵌入 $σ : L \to K alg$ ，都有 $σ (L) = L$ 。
存在一族在 $L$ 上分裂的多項式 $(f_{i})_{i\in I}\subset K[X]$ ，使得 $L/K$ 是在 $K$ 中添加它們的根生成的域扩张。
$K [X]$ 中任何不可約多項式若在 $L$ 裡有根，則在 $L$ 裡分裂（全部的根都在 $L$ 里面）。

正规扩张可以看作是域扩张语言中对多项式的刻画。一个正规扩张对应着 $K [X]$ 里的一个多项式。

例子

$x^{2}+1\,$ 在 $\mathbb {R}$ 上的分裂域是 $\mathbb {C}$ 。
$x^{3}+2\,$ 在 $\mathbb {Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb {Q} (e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}})$ 。
$(x^{2}-2)(x^{2}-3)\,$ 在 $\mathbb {Q}$ 上的分裂域是 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$ 。
$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 是正規域擴張， $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q}$ 卻不是，因為後者並沒有包括 $x^{3}-2\,$ 的所有根，欠了 ${\sqrt[{3}]{2}}e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}}e^{-{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}}$ 。

可分擴張

設 $L/K$ 為代數擴張，如果 $α$ 的极小多項式沒有重根，則稱 $α$ 可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於 $(f, f') =$ 1，這可以直接在 $K$ 中計算）。所有可分元素形成一個中间域 $K$ ⊂ $F$ ⊂ $L$ ， $[L : K] s := [L s : K]$ 稱作 $L/K$ 的可分次數。若 $L s =; L$ ，則稱 $L/K$ 是可分擴張。

當 $L/K$ 是有限擴張時，定義不可分次數 $[L : K] i := [L : K] / [L : K] s$ 。當基域的特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。

参考文献

Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

外部链接

簡介 Galois 理論 /李華介（页面存档备份，存于）

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