分裂域

称一个系数域为${\displaystyle \mathbb {K} }$的多项式 ${\displaystyle P(x)\,}$在${\displaystyle \mathbb {K} }$的某个扩域${\displaystyle \mathbb {L} }$中分裂，当且仅当这个多项式可以用这个域中的元素来分解（分裂）成最简单的一次因式的乘积：

${\displaystyle P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}$

其中的${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {K} }$，${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {L} }$。换句话来说，${\displaystyle P\,}$的根都在${\displaystyle \mathbb {L} }$中。

使得${\displaystyle P\,}$在其中分裂的扩域${\displaystyle \mathbb {L} }$有很多，譬如对于某个使得${\displaystyle P\,}$分裂的的${\displaystyle \mathbb {L} }$，它任意的扩域${\displaystyle \mathbb {L} '}$也都满足。然而其中“最小”的域在同构意义上是唯一的。所谓的“最小”域，是指这样的一个扩域${\displaystyle \mathbb {E} }$：

1. 在${\displaystyle \mathbb {E} }$里，${\displaystyle P\,}$，可以分解为一次因式的乘积；
2. 在${\displaystyle \mathbb {E} }$的任何真子域（不等于自身）里，${\displaystyle P\,}$都无法如此分解。这样的扩域称为${\displaystyle P\,}$在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的分裂域。

如果${\displaystyle \mathbb {K} }$是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$，多项式为

${\displaystyle P(x)=x^{3}-2\,}$

那么其分裂域${\displaystyle \mathbb {L} }$可以是在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中添加三次单位根${\displaystyle \omega \,}$和2的立方根而得到的扩域：${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})}$。因为这时${\displaystyle P\,}$可以写作：

${\displaystyle P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})}$

同一个多项式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：

• 多项式${\displaystyle x^{2}+1\,}$在实数域 R上的分裂域是复数域 C。
• 多项式${\displaystyle x^{2}+1\,}$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF_7².

多项式${\displaystyle x^{2}-1\,}$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF₇，因为在其上${\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)\,}$已经分解完毕。

给定多项式${\displaystyle P(x)\,}$，在 ${\displaystyle \mathbb {K} }$上的分裂域${\displaystyle \mathbb {E} }$，假设在${\displaystyle \mathbb {E} }$里${\displaystyle P\,}$，分解为

${\displaystyle P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})}$

那么${\displaystyle \mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})}$。

对于域${\displaystyle \mathbb {K} }$的一个代数闭域扩域${\displaystyle \mathbb {A} }$和${\displaystyle \mathbb {K} }$上的一个多项式${\displaystyle P\,}$，存在${\displaystyle P\,}$在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的唯一的一个分裂域${\displaystyle \mathbb {L} }$，使得${\displaystyle \mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A} }$。

对于${\displaystyle \mathbb {K} }$的一个可分扩张${\displaystyle \mathbb {K} '}$，${\displaystyle \mathbb {K} '}$的伽罗瓦闭包是一个分裂域，也是${\displaystyle \mathbb {K} }$的包含${\displaystyle \mathbb {K} '}$的一个“最小”的伽罗瓦扩张。这样的一个伽罗瓦闭包包含了${\displaystyle \mathbb {K} '}$中任意元素${\displaystyle a\,}$，在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的极小多项式在${\displaystyle \mathbb {K} }$上的分裂域。

• 代数扩张
• 正规扩张
• 极小多项式
• 可分扩张

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
• David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1

• 李華介，簡介Galois理論 （页面存档备份，存于）