埃尔米特伴随

假設H是一個希爾伯特空間，帶有內積 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$。考慮連續線性算子A : H → H（這與有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我們可以證明存在唯一的連續線性算子

A* : H → H具有如下性質：

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$，对所有${\displaystyle x,y\in H}$。

這個算子A* 是A的伴隨。

這可以視為一個方塊矩陣的轉置共軛或伴隨矩陣推廣，在標準（復）內積下具有相似的性質。

马上可得的性质

1. A** = A
2. 如A可逆，则A* 也可逆，且 (A*)⁻¹ = (A⁻¹)*
3. (A + B)* = A* + B*
4. (λA)* = λ* A*，这里λ* 表示复数λ的复共轭
5. (AB)* = B* A*

如果我们定义A的算子范数为

${\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}$

则

${\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},}$

而且有

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}$。

希尔伯特空间H上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

A的像与它的伴随的核的关系为

${\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },}$

${\displaystyle \left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}}$。

第一个等式的证明：

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}$

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

有界算子A: H → H称为埃尔米特或自伴如果

A = A*

这等价于

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\forall x,y\in H}$。

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

范畴论中，方程

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$

形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。

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• Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006