里斯表示定理

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據；也就是說，当機率幅 ${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle }$ 對每個任意態向量 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 都是連續的時候，可以視為每个左向量 ${\displaystyle \langle \psi |}$ （也就是表示躍遷到 ${\displaystyle \psi }$ 狀態的機率幅的線性泛函）都有一个相应的右向量 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 來同時代表同一個純態 ${\displaystyle \psi }$ ，因為根據以上的表現定理， ${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle }$ 就是 ${\displaystyle |\psi \rangle }$ 和 ${\displaystyle |\phi \rangle }$ 的內積。

历史上，通常认为这个定理同时由里斯和弗雷歇发现[1]

给定算子 ${\displaystyle A[f]}$，（任何人）可以構造一個有界变差函数 ${\displaystyle \alpha (x)}$，使得，對任何连续函数 ${\displaystyle f(x)}$ ，（任何人）有

${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}$。

${\displaystyle A[f]}$ ${\displaystyle \alpha (x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle A[f]=\int _{0}^{1}f(x)\,d\alpha (x)}$.

— Riesz, 1909

${\displaystyle C_{c}(X)}$ 意為由所有支集為紧的连续函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ 所構成的函数空间。

定理： ${\displaystyle X}$ 是局部紧的豪斯多夫空间 ，則對正线性泛函 ${\displaystyle \Lambda :C_{c}(X)\to \mathbb {R} ^{+}}$，存在一個含有所有 ${\displaystyle X}$ 的博雷爾集的Σ-代数 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ，且存在唯一的测度${\displaystyle \mu$ :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{-\infty ,\,\infty \}} 使得[2]

${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu }$

且（以下的條件稱為正則的）

• 对所有 ${\displaystyle X}$ 的紧子集 ${\displaystyle K\subseteq X}$ ，${\displaystyle \mu (K)\in \mathbb {R} }$。
• 若 ${\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}$ ，則 ${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,\,U{\text{ is open}}\}}$
• 若 ${\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}}$ 且 ${\displaystyle \mu (E)\in \mathbb {R} }$ ，則 ${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,\,K{\text{ is compact}}\}}$
• 若${\displaystyle O}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的開集，則${\displaystyle \mu (O)=\sup\{\mu (K):K\subseteq O,\,K{\text{ is compact}}\}}$

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本：

設 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 為 ${\displaystyle X}$ 上所有在無窮遠處消失的连续函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$ 所構成的函数空间。

定理：${\displaystyle X}$ 是局部紧的豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 ${\displaystyle \Lambda :C_{0}(X)\to \mathbb {R} }$，存在一個含有所有 ${\displaystyle X}$ 的博雷爾集的Σ-代数 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ ，且存在唯一的正則测度${\displaystyle \mu$ :{\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\,\infty \}} 使得[2]

${\displaystyle \Lambda (f)=\int _{X}f\,d\mu }$

且 ${\displaystyle \Lambda }$ 的范数是 ${\displaystyle \mu }$ 的全变差（英語：），即

${\displaystyle \|\Lambda \|=|\mu |(X).}$

最后，${\displaystyle \Lambda }$ 是正的当且仅当测度 ${\displaystyle \mu }$ 是非负的。

注：${\displaystyle C_{c}(X)}$ 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 ${\displaystyle C_{0}(X)}$上有界线性泛函，因为后一个空间是前者的闭包。但是 ${\displaystyle C_{c}(X)}$ 上一个无界正线性泛函不能延拓为 ${\displaystyle C_{0}(X)}$ 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。