位势论

“位势论”一词的来源在于，在19世纪的物理学中，自然界的基本力被相信为从满足拉普拉斯方程的位势导出。因此，位势论研究可以作为位势的函数。今天，我们知道自然界更为复杂——表述力的方程可以是诸如爱因斯坦场方程或者杨－米尔斯方程这样的非线性偏微分方程的系统，而拉普拉斯方程只是在受限情况下的近似。但是，“位势论”一词还是保留了作为对满足拉普拉斯方程的函数的研究的方便叫法。

很显然，位势论和拉普拉斯方程的理论有很大程度的重叠。这个程度是：可能可以在两个领域划分一个区别，区别在于重点而不是主题，并且主要在于下列区别——位势论注重函数的性质而不是方程的性质。例如，调和函数的奇點的一个结果可说属于位势论；而关于解如何依赖于边界条件的一个结果，却是拉普拉斯方程理论。当然，这不是一个严格和显然的区别，实践上两个领域有很大交叉，它们的结果和方法相互为用。

调和函数的研究有个基本而有用的原理，就是拉普拉斯方程的对称性。首先注意到拉普拉斯方程是线性的（不过这并非寻常意义下的对称），这意味着位勢论的基本对象是由函数組成的线性空間，我们将在后面章节看到它的重要性。

就通常所谓的「对称」来说，我们可以从下述定理起步：n 維拉普拉斯方程的对称群恰好是 n 維欧氏空間的共形映射群，简称共形群。从此得到几个推论：

1. 考虑共形群或其子群（例如旋转或平移子群）的不可約表示，籍此能有系統地得到拉普拉斯方程的分离变量解，诸如球面调和函数或傅里叶級數解。从这些解的线性叠加能得到一大类調和函數，可证明它們构成调和函数空间里的一个稠密子空间（在适当的拓扑下）。
2. 可以从共形对称性理解一些經典的技巧与方法，诸如克莱因变换或镜像法。
3. 我們能用共形变换將一个区域的調和函数拉回成另一区域里的调和函數。最常见的例子是单位圆盘与上半平面的共形等价性。
4. 利用共形对称性，可以将调和函数的定义推广到共形平坦（即：在一个光滑共形同胚映射下同胚于平坦空间）的黎曼流形。最简单的例子也许是將 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的调和函数（允许帶有孤立奇点）視作 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ 上的调和函數。至于较复杂的情形，以下举两个例子。首先我们将一个多值調和函数看作是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的某个分支覆盖上的单值调和函数，从而建立高維的黎曼曲面论；或者，我们可以将在共形群的一个离散子群下不变的调和函数视作轨形上的函数。

由於二維的共形變換群本身是無窮維，而在三維以上則是有限維的，我們可以猜測位勢論在二維與在三維以上的性質迥異。的確如此；事實上，任何二維調和函數都是一個全純函數的實部，因此二維位勢論本質上不外是單變數的複分析。

因此，當人們談到位勢論，通常都將焦點集中在那些對三維以上成立的定理。讓人驚奇的是許多來自複分析的定理與概念（例如施瓦茲定理、莫雷拉定理、魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理以及奇點的相關理論等等）可在高維中推廣，我們可以藉此感覺到哪些是一般理論的特例，而哪些又是單變數複分析獨有的結果。

位勢論的重要課題之一是調和函數的局部行為，其中最基本的也許是拉普拉斯方程的正則性定理，此定理斷言調和函數是解析函數。也有些結果是描述調和函數的等位面之局部結構，例如 Bôcher 定理，它描述正調和函數的孤立奇點。如前一節所述，調和函數的孤立奇點可分類為可去除奇點、極點與本性奇點。

研究調和函數的一種卓有成效的辦法是研究它們滿足的不等式，其中最基本者當屬極大值原理，由此可推出大多數其它不等式。另一個重要結果是劉維爾定理，它斷言定義在整個 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上的有界調和函數必為常數函數。除此之外，還有柯西估計、Harnack 不等式與施瓦茨引理等幾個重要的不等式。

這些不等式的重要應用之一是研究一族調和函數或次調和函數的極限，這些收斂定理往往可用來證明存在滿足某些特殊性質的調和函數。

由於拉普拉斯方程是線性的，定域上的調和函數集構成一個向量空間。藉著賦予適宜的範數與（或）內積，可進一步賦予希爾伯特空間或巴拿赫空間的結構。藉此可得到哈代空間、布洛赫空間與柏格曼空間。

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