低維拓撲

闭曲面的分类理论陈述如下[4]：任意连通的闭曲面属于以下三种类别之一

1. 球面
2. g个环面的连通和，这里${\displaystyle g\geq 1}$
3. k个实射影平面的连通和，这里${\displaystyle k\geq 1}$

前两个类别的曲面是可定向的，若把球面当成是0个环面的连通和，那么第一个类别可归入第二个类别。第二个类别中，数字g被叫做曲面的亏格。曲面的亏格和欧拉示性数有一定联系：对于g个环面的连通和，它的欧拉示性数为2 − 2g.

如果一个拓扑空间${\displaystyle M}$满足以下条件，那么${\displaystyle M}$是一个三维拓扑流形[5]

1. ${\displaystyle M}$是第二可数空间
2. ${\displaystyle M}$是豪斯多夫空间
3. ${\displaystyle M}$上每一个点都被包含于一个开集，而且这个开集和三维欧式空间同胚

在三维情况，拓扑流形、分段线性流形、光滑流形三个范畴都等价，因此很少会刻意区分三维流形是属于哪一类。三维流形中的现象和其他维度的现象有着巨大的差别，因此有许多研究方法专门适用于三维流形，而不能被推广至更高的维度。三维流形的特殊性，导致了三维流形和许多领域有着密切的联系，例如：纽结理论、几何群论、双曲几何、数论、拓扑量子场论、规范场论、Floer同调论、偏微分方程。三维流形理论被划分为低维拓扑或几何拓扑学的一部分。