連通和

兩個m維流形的連通和為一流形，其將兩個流形各挖去一個球，再將球面邊界黏在一起。

若兩個流形是可定向的，由逆转定向黏合映射定义的连通和是惟一的。即使這建構使用到的球的選擇，但最後結果都會於同胚下統一。亦可以將此運算作用於光滑範疇上，而其結果也會於微分同胚下統一。

連通和的運算標記為${\displaystyle \#}$；例如，${\displaystyle A\#B}$即表示為A和B的連通和。

連通和的運算中有一球面${\displaystyle S^{m}}$為單位元；亦即，${\displaystyle M\#S^{m}}$會同胚(或微分同構)於M。

閉球面的分類，在拓撲學上的一基本及重大結果，其描述为：任一閉曲面均可表示成g个環面和k個實射影平面的連通和。

設${\displaystyle M_{1}}$和${\displaystyle M_{2}}$為兩個光滑、可定向且相同維度的流形，及V為一光滑、封閉且可定向的流形，可內嵌成${\displaystyle M_{1}}$和${\displaystyle M_{2}}$的子流形。此外，再假設其存在一法叢的同構

${\displaystyle \psi :N_{M_{1}}V\to N_{M_{2}}V}$

其將每一纖維的定向顛倒。然後，${\displaystyle \psi }$便可導出一定向保留的微分同構

${\displaystyle N_{1}\setminus V\cong N_{M_{1}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V\cong N_{2}\setminus V,}$

其中，每一法叢${\displaystyle N_{M_{i}}V}$都會微分同構地和於${\displaystyle M_{i}}$內V的鄰域${\displaystyle N_{i}}$一致，且映射

${\displaystyle N_{M_{2}}V\setminus V\to N_{M_{2}}V\setminus V}$

• Band sum
• Prime decomposition of 3-manifolds
• Manifold decomposition

• Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
• William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.