餘代數

形式上來說，域 ${\displaystyle K}$ 上的餘代數是一個 ${\displaystyle K}$-向量空間 ${\displaystyle C}$ 及 ${\displaystyle K}$-線性映射 ${\displaystyle \Delta :C\to C\otimes _{K}C}$（餘乘法）與 ${\displaystyle \epsilon :C\to K}$（餘單位元），使得：

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

等價的說法是：以下圖表交換：

在第一個圖表中，我們等同了 ${\displaystyle C\otimes (C\otimes C)}$ 與 ${\displaystyle (C\otimes C)\otimes C}$；同理，在第二個圖表中，我們等同了 ${\displaystyle C}$、${\displaystyle C\otimes K}$ 與 ${\displaystyle K\otimes C}$。

第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本，稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。

處理餘代數時，以下記法可以大大地簡化式子，稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 ${\displaystyle (C,\Delta ,\epsilon )}$ 中的一個元素 ${\displaystyle c}$，存在一族元素 ${\displaystyle c_{(1)}^{i},c_{(2)}^{i}\in C}$，使得

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.}$

在 Sweedler 記法中，上式寫作

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

舉例明之，餘單位元 ${\displaystyle \epsilon }$ 之公理可表成

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;}$

餘乘法 ${\displaystyle \Delta }$ 則可表成

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

在 Sweedler 記法中，這些式子都被寫作

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

一些作者會省略求和符號，此時 Sweedler 記法表成

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

與

${\displaystyle c=\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;}$

• Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0