余切定理

余切定理是三角学中关于三角形内切圆半径的定理。

一个三角形。它的三个内角及其对边。

三角学
历史 三角函数 (反三角函数) 广义三角函数
参考
恒等式 精确值 三角表 单位圆
定理
正弦 餘弦 正切 餘切 勾股定理
微积分
三角换元法 积分 (反三角函数) 微分

假设${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, 与${\displaystyle \gamma }$是三角形的三个内角，${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, 与${\displaystyle c}$是与之对应的三个对边，若

${\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ （ζ 为这个三角形的内切圆半径），其中：

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$（${\displaystyle s}$为三角形的半周长），

那么余切定理告诉我们：[1]

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}$

还有

${\displaystyle {\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}.}$

总而言之，余切定理就是：某个角一半的余切等于半周长减去这个角所对的边长再除以三角形的内切圆半径。