单位圆

事实上，不仅仅是正弦与余弦，而且所有六个标准三角函数—正弦（sin）、餘弦（cos）、正切（tan）、餘切（cot）、正割（sec）、餘割（csc）以及不常用的正矢（versin）和其相關函數、外正割（exsec）、外餘割（excsc）和歷史上曾存在的弦函數（crd）—都可以在单位圆表示出来。

在直角三角形中，正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$时才有意义。但是，在单位圆上，对于任意的实数角度，这些函数都有直观的意义。

角度 ${\displaystyle \theta }$ 的所有三角函数都可以在圆心为${\displaystyle O}$的单位圆上表示出来

• 正弦函数与余弦函数可以用如下方法定义。

设${\displaystyle (x,y)}$是单位圆上的一个点。设角${\displaystyle t}$的起始边为x轴的正方向，角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此：

${\displaystyle \cos(t)=x\,\!}$

${\displaystyle \sin(t)=y\,\!}$

另外，从${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$可以得到

${\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!}$

从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数，对于任意的整数${\displaystyle k}$有恒等式

${\displaystyle \cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!}$

${\displaystyle \sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!}$

单位圆上已知準確座標的点

这些恒等式的依据是在角度 ${\displaystyle t}$ 增加任意圈数或者减小任意圈数的时候x与y坐标保持不变。一圈${\displaystyle =2\pi }$ 弧度。

复数也可以用欧几里得平面内的点来表示，${\displaystyle a+bi}$ 表示为${\displaystyle (a,b)}$。在这种表示下，单位圆是不断增加的群，在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。

• 三角函数
• 角
• 单位球
• 单位正方形
• 单位圆盘
• 圆群