信号流图

線性信号流图中的元件

線性信号流图是和以下形式線性系統有關的信号流图[8]：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=\sum _{\mathrm {k} =1}^{\mathrm {N} }t_{\mathrm {jk} }x_{\mathrm {k} }\end{aligned}}}$

其中${\displaystyle t_{jk}}$ 為從${\displaystyle x_{k}}$到${\displaystyle x_{j}}$的增益。

右圖中有一些線性信號流圖中的基本元件[9]。

(a)是標示為${\displaystyle x}$的節點，節點是圖的一個頂點，表示變數或是信號。

(b)是一個有${\displaystyle m}$倍增益的分支，意思是指箭頭的終點會是箭頭起點的${\displaystyle m}$倍。增益可能是簡單的常數，也有可能函數（例如表示拉氏轉換、傅立葉轉換及Z轉換的${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \omega }$或${\displaystyle z}$）。

(c)是增益為1的分支，當分支上沒有標示增益時，就假設增益為1。

(d) ${\displaystyle V_{in}}$為輸入節點。此例中，輸出是${\displaystyle V_{in}}$乘以增益${\displaystyle m}$。

(e) ${\displaystyle I_{out}}$為輸出節點，輸出值為輸入值的${\displaystyle m}$倍。

(f) 表示加法。若二個或是多個箭頭的終點是同一個節點，該節點的值是各箭頭表示信號的和。

(g) 是簡單的迴路，迴路增益為${\displaystyle A\times m}$。

(h) 表示${\displaystyle Z=aX+bY}$。

以下是一些線性信号流图中常見的術語[9]：

• 路徑（Path）。路徑是依箭頭方向一直延伸的連續數個分支。
  • 開路徑（Open path）是指路徑上沒有同一個節點走到二次或二次以上。
• 路徑增益（Path gain）是指路徑上所有分支增益的乘積。
• 迴路（Loop）是指封閉的路徑，路徑的起點和終點是同一個節點，路徑上的節點都只經過一次。
• 迴路增益（Loop gain）是指迴路上所有分支增益的乘積。
• 不相連迴路（Non-touching loops）是指二個或多個沒有共同節點的迴路。

在建構動態系統的模型時，以下是Dorf和Bishop列出的步驟[15]：

• 定義系統以及其元件。
• 將其數學模型公式化，並且列出需要的假設。
• 寫出描述模型的微分方程。
• 求解方程式，得到輸出變數的解。
• 檢驗得到的解，並且檢驗假設。
• 若有需要，重新分析系統或是重新設計系統。

—RC Dorf and RH Bishop, Modern Control Systems, Chapter 2, p. 2

在上述程中，物理系統的數學模型方程可以用來推導信号流图方程。

信号流图也用在設計空間探索（DSE），一個趨近實際呈現的過渡表示方式。設計空間探索會在許多不同的選項中找一個適合的解。典型的分析流程會先針對待確認的系統，以其各元件的物理方程式來建模。設計空間探索不同，其設計合成的規格是想要的傳遞函數。例如，不同的策略會產生不同的信號流圖，可由此推導出對應的實現方式[16]。 另一個使用有說明的信号流图的例子是連續時間行為的表示方式，作為架构生成器的输入[17]。

圖3：一個漸近增益模型下的信号流图

圖4：另一個漸近增益模型下的信号流图

圖5：另一個有非理想负反馈放大器信号流图，其中有一個控制變數P，和二個中間變數x_j=Px_i，此圖是由D.Amico等人所製[21]

圖3是由漸近增益模型表示负反馈放大器的一種可能的信号流图，可以得到放大器增益的方程式為

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{\infty }\left({\frac {T}{T+1}}\right)+G_{0}\left({\frac {1}{T+1}}\right)\ .}$

其參數的說明如下：T = 返回比，G_∞ = 直變大器增益，direct amplifier gain, G₀ = 前饋（表示回授可能有的雙向特性，也可能是刻意的前饋補償）。

增益G₀和G_∞的意思分別是時間接近零及無限大時的增益：

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G\$ ;\ G_{0}=\lim _{T\to 0}G\ .}

有許多可能的信号流图，對應不同的增益關係。圖4是另一個信号流图，其漸近增益模型比較容易用電路表示。在此圖中，參數β為回授因子，而A為控制因子，和電路中的相依訊號源有關，配合信号流图，可以得到增益為

${\displaystyle G={\frac {y_{2}}{x_{1}}}}$ ${\displaystyle =G_{0}+{\frac {A}{1-\beta A}}\ .}$

若要連接到漸近增益模型，參數A和β不能是任意的電路參數，需要和返回比T有以下的關係：

${\displaystyle T=-\beta A\ ,}$

因此漸近增益為：

${\displaystyle G_{\infty }=\lim _{T\to \infty }G=G_{0}-{\frac {1}{\beta }}\ .}$

替換結果到增益表示式中，

${\displaystyle G=G_{0}+{\frac {1}{\beta }}{\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{0}+(G_{0}-G_{\infty }){\frac {-T}{1+T}}}$

${\displaystyle =G_{\infty }{\frac {T}{1+T}}+G_{0}{\frac {1}{1+T}}\ ,}$

上述就是漸近增益模型的公式。

若以x_j來表示j節點的訊號，以下例子是不符合線性非時變系統的函數：

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\mathrm {j} }&=x_{\mathrm {k} }\times x_{\mathrm {l} }\\x_{\mathrm {k} }&=abs(x_{\mathrm {j} })\\x_{\mathrm {l} }&=\log(x_{\mathrm {k} })\\x_{\mathrm {m} }&=t\times x_{\mathrm {j} }{\text{ ,where }}t{\text{ represents time}}\\\end{aligned}}}$

• 在電子工程的文獻中常見非線性的信號流圖[22][23]
• 在生命科學中也常有非線性信号流图，例如亞瑟·蓋頓的心血管系統電腦模型。