线性非时变系统理论

输入信号为x(t)，输出信号为y(t)的线性时不变系统的行为可以用卷积积分描述：[2]

${\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)\,}$	${\displaystyle {}\quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau }$
	${\displaystyle {}\quad =\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau ,}$（使用交换律）

其中${\displaystyle \textstyle h(t)}$为当输入信号${\displaystyle \textstyle x(\tau )=\delta (\tau )}$时系统的冲激响应。因此${\displaystyle \textstyle y(t)}$与输入函数${\displaystyle \textstyle x(\tau )}$的加权平均成正比。权重函数为${\displaystyle \textstyle h(-\tau )}$，就是平移了${\displaystyle \textstyle t}$的量。随着${\displaystyle \textstyle t}$改变，权重函数会突出输入函数的不同部分。当对所有非负${\displaystyle \textstyle \tau }$，${\displaystyle \textstyle h(\tau )}$均为零时，${\displaystyle \textstyle y(t)}$只由时间${\displaystyle \textstyle t}$之前的${\displaystyle \textstyle x}$值决定，而系统称为因果系统。

要理解为何LTI系统的输出可以用卷积产生，就令记号${\displaystyle \textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$表示变量${\displaystyle \textstyle u}$和常量${\displaystyle \textstyle \tau }$的函数${\displaystyle \textstyle x(u-\tau )}$。用简洁的记号${\displaystyle \textstyle \{x\}\,}$表示${\displaystyle \textstyle \{x(u);\ u\}}$。那么就会有一个从输入函数${\displaystyle \textstyle \{x\},}$转换到${\displaystyle \textstyle \{y\}}$的连续时间系统。在一般情况下，输出的每一个值可以对应输入的每一个值。这个概念表示为：

${\displaystyle y(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{x\},}$

其中${\displaystyle \textstyle O_{t}}$为对时间${\displaystyle \textstyle t}$的变换算子。在典型的系统中，${\displaystyle \textstyle y(t)}$很大程度上取决于${\displaystyle \textstyle t}$临近时间的${\displaystyle \textstyle x}$的值。除非变换本身随着${\displaystyle \textstyle t}$变化，否则输出函数就是常数，系统也没有意义。

对一个线性系统，${\displaystyle \textstyle O}$必须满足Eq.1：

${\displaystyle O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\operatorname {d} \tau$ ;\ u\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\operatorname {d} \tau .\,}

(Eq.2)

而时不变系统的要求是：

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y(t-\tau )\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

(Eq.3)

在这种记号下，我们可以把冲激响应写成${\displaystyle \textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}}$。

同样：

${\displaystyle h(t-\tau )\,}$	${\displaystyle {}{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle {}=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.\,}$（使用Eq.3）

将此结果代入卷积积分：

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)*h(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\operatorname {d} \tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\operatorname {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$

该形式为${\displaystyle \textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$且${\displaystyle \textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau )}$情形下Eq.2等式右侧的形式。
那么Eq.2允许这个延拓：

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)*h(t)&=O_{t}\left\{\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\operatorname {d} \tau$ ;\ u\right\}\\&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ y(t).\,\end{aligned}}}

综上所述，输入函数${\displaystyle \textstyle \{x\}}$可以用Eq.1中描述的时移冲激函数的连续统的“线性”组合来表示。系统的线性特性允许系统由相应的以相同方式组合的冲激响应的连续统来表示系统的响应。而时不变特性允许用卷积积分来表示这种组合。

上述数学运算可以用一个简单的图形模拟。[3]

本徵函數是算子输出为经过放缩的相同函数的函数。即，

${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}$,

其中f是本征函数而${\displaystyle \lambda }$是特征值（一个常数）。

指数函数${\displaystyle Ae^{st}}$（其中${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$）是线性时不变算子的本徵函數。可以用一个简单的证明来说明这个概念。假设输入是${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$。系统冲激响应${\displaystyle h(t)}$的输出就是

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau }$

由卷积的交换性质，上式等价于

${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\operatorname {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau &=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\end{aligned}}}$

其中标量

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

只与参数s有关。

因此，系统的响应是一个缩放的输入。特别地，对任意I ${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$，系统输出为输入${\displaystyle Ae^{st}}$和常量${\displaystyle H(s)}$的乘积。因此，${\displaystyle Ae^{st}}$是LTI系统的本徵函數，对应的特征向量为${\displaystyle H(s)}$。

也可以用复指数直接导出LTI系统的本征函数。

我们令${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$为某复指数，${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$为它的时移版本。

对常数${\displaystyle e^{i\omega a}}$由线性得${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$。

由${\displaystyle H}$的时不变性有${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$。

所以${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$。令${\displaystyle t=0}$并重新命名就得到：

${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$

即复指数${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$作为输入，将得到一个相同频率的复指数作为输出。

本征函数的指数函数性质对分析和了解LTI系统都是很有用处的。拉普拉斯变换

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

就是从冲激响应得到特征值的方法。纯正弦（即形式为${\displaystyle e^{j\omega t}}$的指数函数，其中${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$，${\displaystyle j\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {-1}}}$）尤其要关注。通常称这些为复指数，即使参数为纯虚数。傅里叶变换${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$给出了纯复正弦的特征值。${\displaystyle H(s)}$与${\displaystyle H(j\omega )}$都可以称作系统函数、系统响应或传递函数。

拉普拉斯变换通常用于单边信号的背景下，即t小于某个值时信号的所有值为零。通常，“起始时间”设置为零，为方便起见，不失一般性，变换都从零到无穷积分（上述变换的下限为负无穷的积分称作双边拉普拉斯变换）。

傅里叶变换是用来分析系统处理无穷限信号的，如调制的正弦信号，即使它不能直接应用在非平方可积的输入与输出信号上。拉普拉斯变换实际在这些信号初始时间之前全为零的信号可以直接使用，即便他们不是平方可积的，比如平稳系统。傅里叶变换通常通过维纳－辛钦定理用在无穷信号光谱上，即使在信号的傅里叶变换不存在的时候。

由于这两种变换的卷积性质，在变换存在的条件下，能够给出系统输出的卷积可以转换为变换域的乘积

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}}$。

计算变换、乘积和反变换不仅比原始的卷积容易，而且还能从系统响应了解系统的行为。可以观察系统函数 |H(s)| 的模来看出输入${\displaystyle \exp({st})}$是否能够通过这个系统或被此系统拒绝或削弱（不通）。

• 一个线性时不变算子的简单实例是导数。
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$（即，它是线性的）
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$（即，它是时不变的）

取导数的拉普拉斯变换，得到一个简单的与拉普拉斯变换变量s的乘积。

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$

导数的拉普拉斯变换如此简单一定程度上说明了拉普拉斯变换的用途。

• 另外一个简单的线性时不变算子是平均算子

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda }$。

因为积分是线性的所以它也是线性的

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}\left(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda )\right)\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}(t)\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}(t)\right\},\end{aligned}}}$

此外，它也是时不变的

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\operatorname {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\operatorname {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$

实际上，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$可以写成与矩形脉冲函数 ${\displaystyle \Pi (t)}$的卷积。

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda ,}$

其中矩形脉冲函数是

${\displaystyle \Pi (t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$

因果性和稳定性是描述系统的两个重要性质。如果独立变量是时间，那么因果性是必须的，但并不是所有系统的独立变量都是时间。例如，一个处理静止图像的系统不需要具备因果性。非因果系统可以建立，并可以在许多情况下发挥作用。即使是非实数系统也可以构建，并且在很多场合也是非常有用的。

如果系统输出只与当前以及过去的输入有关，那么该系统就是因果系统。因果性的充分必要条件是

${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$

其中${\displaystyle h(t)}$是冲激响应。由于拉普拉斯变换的逆变换不唯一，所以通常不能根据拉普拉斯变换确定系统的因果性。只有在确定了系统的收敛域之后才能确定该系统的因果性。

如果系统对每个有界输入来说输出都是有界的，那么系统就是有界输入有界输出稳定的（BIBO稳定），用数学方法表示就是如果每个输入满足

${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$

就会导致输出满足

${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$

（也就是说${\displaystyle x(t)}$的最大绝对值是有界的意味着${\displaystyle y(t)}$的最大绝对值也是有界的），那么系统就是稳定的。系统稳定的充分必要条件是冲激响应${\displaystyle h(t)}$是在L¹中（其L¹范数有限）的：

${\displaystyle \ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\operatorname {d} t<\infty }$。

在频域中，收敛域必须包含虚轴${\displaystyle s=j\omega }$。

作为一个例子，冲激响应等于Sinc函数的理想低通滤波器不是BIBO稳定的，因为Sinc函数不具有有限的L¹范数。因此，对于一些有界输入，理想低通滤波器的输出是无界的。特别地，若对${\displaystyle t<0\,}$的输入为零，并且在${\displaystyle t>0\,}$时等于正弦信号的截止頻率，则在非过零时刻输出是无界的。

在许多情况下，离散时间（DT）系统实际上是较大的连续时间（CT）系统的一部分。例如，数字录音系统记录模拟声音、数字化、或许对数字信号进行处理、然后重放模拟信号。

正式场合下所研究的离散时间信号几乎总是连续时间信号的均匀采样。如果${\displaystyle x(t)}$是一个连续时间信号，那么模数转换器将把它转换成离散时间信号${\displaystyle x[n]}$，

${\displaystyle x[n]=x(nT)}$,

其中T是采样周期。为了保证离散信号能够忠实地表示输入信號，非常重要的一点就是需要限制输入信号的频率范围。根据采样定理，离散时间信号所包括的最大频率范围是${\displaystyle 1/(2T)}$。其它频率都成为这个范围的混叠信号。

我们从一个冲激响应是二维函数的时变系统开始来看看时不变这个条件是如何将系统降到一维的。例如，假设输入信号是 ${\displaystyle x[n]}$，其中n是整数，即${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$。线性算子${\displaystyle {\mathcal {H}}}$表示系统在输入信号上的操作，对于这个index set来说合适的算子是一个二维函数

${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]{\mbox{ where }}n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} }$。

由于${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是一个线性算子，系统在输入信号${\displaystyle x[n]}$上的作用就是下面累加和所表示的线性变换

${\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1},n_{2}]\,x[n_{2}],}$

如果线性算子${\displaystyle {\mathcal {H}}}$也是时不变的，那么

${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}+m,n_{2}+m]\qquad \forall \,m\in \mathbb {Z} }$。

如果取

${\displaystyle m=-n_{2},\,}$

那么

${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]=h[n_{1}-n_{2},0].\,}$

为了简化通常我们丢弃${\displaystyle h[n_{1},n_{2}]}$的第二个参数零，这样重叠积分现在变成了滤波中常见的卷积和

${\displaystyle y[n_{1}]=\sum _{n_{2}=-\infty }^{\infty }h[n_{1}-n_{2}]\,x[n_{2}]=(h*x)[n_{1}]}$。

这样，卷积和表示一个线性时不变系统在任意输入函数上所起的作用，对于类似的有限维参数，参见轮换矩阵

如果我们给系统输入一个离散δ函数，由于δ函数是一个理想的脉冲，所以系统的线性时不变变换就是冲激响应。我们用下式表示：

${\displaystyle (h*\delta )[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,\delta [m]=h[n],}$

（通过δ函数的 sifting特性）。

注意

${\displaystyle h[n]=h[n_{1}-n_{2},0]\,\!{\mbox{ where }}n=n_{1}-n_{2},}$

这样${\displaystyle h[n]}$就是系统的冲激响应。

这个冲激响应可以按照下面的方法用于得到任意输入信号的响应。再次应用${\displaystyle \delta [n]}$的过滤特性，我们将输入信号写成δ的累加和：

${\displaystyle x[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}$。

输入经过系统变换，

${\displaystyle {\mathcal {H}}x[n]={\mathcal {H}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]\delta [n-m]}$

${\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\mathcal {H}}x[m]\delta [n-m]}$（${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是线性的所以可以在和之间传递）

${\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[n]{\mathcal {H}}\delta [n-m]}$（${\displaystyle x[m]}$在n中是常量并且${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是线性的）

${\displaystyle \quad =\sum _{m=-\infty }^{\infty }x[m]h[n-m]}$（根据${\displaystyle h[n]}$的定义）

系统的所有信息都包含在冲激响应${\displaystyle h[n]}$中。

一个简单的线性时不变算子的实例是延时算子${\displaystyle D\{x\}[n]:=x[n-1]}$。

${\displaystyle D\left(c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right)=c_{1}x_{1}[n-1]+c_{2}x_{2}[n-1]=c_{1}Dx_{1}[n]+c_{2}Dx_{2}[n],}$

${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m].\,}$

导数取Z变换，就变成一个简单的与Z相乘：

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=zX(z)}$。

差分的Z变幻如此简单也在一定程度上表明了Z变换的用途。

另外一个简单的线性时不变算子是平均算子

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k]}$.

由于和是线性的所以它也是线性的：

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)}$

${\displaystyle =c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]}$

${\displaystyle =c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\}}$.

它也是时不变的：

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}}$

${\displaystyle =\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]}$

${\displaystyle =\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']}$

${\displaystyle ={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m]}$.

因果性和稳定性是系统的重要特性。与连续时间系统不同，我们可以实现非因果的离散时间系统。通过在系统中加入延时就很容易将非因果有限冲激响应系统变成因果系统。甚至可以构建非因果的无限冲激响应系统（参见Vaidyanathan and Chen, 1995）。我们也可以构建不稳定的系统，这种系统在很多场合都很有用，甚至也可以构建在很多情况下非常有用的non-real系统。

如果系统的输出只与当前以及过去的输入有关，那么系统就是因果系统。因果性的必要且充分条件是

${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$

其中${\displaystyle h[n]}$是冲激响应。由于逆变换不是唯一的，所以通常很难从Z变换确定系统的因果性。如果收敛域确定，系统的因果性也就随之确定。

如果离散系统每个有界的输入，输出都是有界的那么系统就是有界输入输出稳定（BIBO稳定）。用数学方法表示就是

${\displaystyle ||x[n]||_{\infty }<\infty }$

并且

${\displaystyle ||y[n]||_{\infty }<\infty }$

（也就是说${\displaystyle x[n]}$和${\displaystyle y[n]}$的最大绝对值都是有限的），那么系统就是稳定的。必要且充分条件就是冲激响应${\displaystyle h[n]}$满足

${\displaystyle ||h[n]||_{1}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty }$。

在频域中，收敛域必须包含单位圆${\displaystyle |z|=1}$。