偏度

偏度分為兩種：

• 負偏態或左偏態：左側的尾部更長，分布的主體集中在右側。[2]。
• 正偏態或右偏態：右側的尾部更長，分布的主體集中在左側。[2]。

如果分布對稱，那麼平均值=中位數，偏度為零（此外，如果分布為單峰分布，那麽平均值=中位數=眾數）。

隨機變量${\displaystyle X}$的偏度${\displaystyle \gamma _{1}}$為三階標準矩，可被定義為：

${\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\Big [}{\big (}{\tfrac {X-\mu }{\sigma }}{\big )}^{\!3}\,{\Big ]}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{3}{\big ]}}{\ \ \ (\operatorname {E} {\big [}(X-\mu )^{2}{\big ]})^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}\ ,}$

其中${\displaystyle \mu _{3}}$是三階主動差，${\displaystyle \sigma }$是標準差。${\displaystyle E}$是期望算子。等式的最後以三階累積量與二階累積量的1.5次方的比率來表示偏度。這和用四階累積量除去二階累積量的平方來表示峰度的方法向類似。

偏度有時用${\displaystyle \mathrm {Skew} [X]}$來表示。老教科書過去常常用${\displaystyle {\sqrt {\beta _{1}}}}$來表示偏度，可是由於偏度可為負，這樣的表示法較為不便。

對上面的等式進行擴展可導出用非中心矩E[X³]來表示偏度的公式：

${\displaystyle \gamma _{1}=\operatorname {E} {\bigg [}{\Big (}{\frac {X-\mu }{\sigma }}{\Big )}^{\!3}\,{\bigg ]}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+2\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\ .}$

具有${\displaystyle n}$個值的樣本的樣本偏度為：

${\displaystyle g_{1}={\frac {m_{3}}{{m_{2}}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$

其中${\displaystyle {\overline {x}}}$是樣本平均值，${\displaystyle m_{3}}$是三階樣本中心矩，${\displaystyle m_{2}}$是二階樣本中心距，即樣本方差。

• 峰度
• 主動差

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• Johnson, NL, Kotz, S, Balakrishnan N (1994) Continuous Univariate Distributions, Vol 1, 2nd Edition Wiley ISBN 0-471-58495-9
• MacGillivray, HL. . Comm. Statistics - Theory and Methods. 1992, 21: 1244–1250.