偶极子天线

对于一般的偶极子天线，天线上变化的电流会产生辐射场，辐射场也会影响天线上的电流分布。求解一般的偶极子天线产生的辐射场是一个复杂的边值问题。对于导体构成的直天线，设其内部的电场的切向分量为${\displaystyle E_{z}}$。这样在天线内部，矢势的切向分量${\displaystyle A_{z}}$满足方程：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}}$

将推迟势公式代入，即可得到天线内部的电流密度${\displaystyle J_{z}}$满足的积分方程：

${\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}})({\frac {J_{z}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}}$

如果使用单频交流电馈电，利用分离变量法，可以将方程转化为：

${\displaystyle {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+k^{2})({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {ik}{c}}E_{z}}$

该方程被称为波克灵顿（英語：）积分方程。它需要在适当的边界条件（如天线末端${\displaystyle J_{z}=0}$）下求解。

如果天线由良导体构成，则${\displaystyle E_{z}}$只在天线中心的空气隙中（${\displaystyle z=0}$）明显地不为零，而在导体中近似为零，可以用狄拉克δ函数${\displaystyle U\delta (z)}$代替。此时${\displaystyle A_{z}}$满足一维波动方程，具有驻波形式，满足：

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}}$

待定系数C由边界条件给出。此为海伦(英語：)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。

对于截面为圆形，半径远小于工作波长的细空心天线，可以近似认为其上的电流成轴对称分布，可对角度变量进行积分，方程转化为：

${\displaystyle \int _{-L/2}^{L/2}I(z')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}}$

如果进一步假定天线的半径远小于其长度(两者之比小于1/60)，可以近似认为在积分中，只有z附近的${\displaystyle I(z')}$才对${\displaystyle A_{z}}$有贡献，${\displaystyle I}$与${\displaystyle A_{z}}$具有类似的形式。这样天线内部的电流强度也近似满足一维波动方程。电流在天线上的分布近似为驻波形式：

${\displaystyle I(z,t)=I_{0}cos({\frac {2\pi }{\lambda }}(L/2-|z|))\cos(\omega t)}$

其中${\displaystyle L}$是天线全长，${\displaystyle \omega }$是交流电的频率。这种情形下，天线在场点${\displaystyle r}$处产生的矢势为：

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi }}\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dz'}$

如果场点离天线的距离足够远，以至于下列三个条件同时满足时，场点处于辐射区：

${\displaystyle r>>L}$

${\displaystyle r>>\lambda }$

${\displaystyle r>>L^{2}/\lambda }$

此时推迟势公式可近似为：

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi r}}\int _{-L/2}^{L/2}\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos {\theta })dz'={\frac {\mu _{0}I_{0}\cos(\omega t-kr)\mathbf {\hat {z}} }{2\pi kr}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-\cos {(kL/2)}}}{\sin ^{2}{\theta }}})}$

略去不属于辐射场的高阶项，场点的磁感应强度${\displaystyle \mathbf {B} }$满足：

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \approx {\frac {\mu _{0}I_{0}\sin {(\omega t-kr)}\mathbf {\hat {\phi }} }{2\pi r}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})}$

辐射功率的角分布为：

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{8\pi ^{2}}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})^{2}}$

对上式积分，利用三角积分函数，可以给出辐射总功率以及辐射阻抗的表达式:

${\displaystyle P={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{2\pi \sin ^{2}(kL/2)}}\{\gamma +\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)[\gamma +\ln(kL/2)+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)]\}=R_{\mathrm {dipole} }I_{0}^{2}}$

若天线的半径与长度之比${\displaystyle a/L}$并不小，使用“电流驻波分布”的近似并不准确：有限的${\displaystyle a/L}$会为这一定律引入${\displaystyle (\ln {a/L})^{-1}}$量级的相对修正[6]。

长度远小于工作波长的天线为短天线。