积分方程

积分方程是含有对未知函数的积分运算的方程，与微分方程相对。许多数学物理问题需通过积分方程或微分方程求解。

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微积分学
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多元微积分 偏导数 · 隐函数 · 全微分（微分的形式不变性） · 二阶导数的对称性 · 全微分 · 方向導數 · 标量场 · 向量場 · 梯度（Nabla算子） · 多元泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 黑塞矩陣 · 鞍點 · 多重积分（逐次积分 · 积分顺序） · 积分估值定理 · 旋转体 · 帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 · 祖暅-卡瓦列里原理 · 托里拆利小号 · 雅可比矩阵 · 广义多重积分（高斯积分） · 若尔当曲线 · 曲线积分 · 曲面积分（施瓦茨的靴） · 散度 · 旋度 · 通量 · 可定向性 · 格林公式 · 高斯散度定理 · 斯托克斯定理及其外微分形式 · 若尔当测度 · 隐函数定理 · 皮亚诺-希尔伯特曲线 · 积分变换 · 卷积定理 · 积分符号内取微分 (莱布尼茨积分定则) · 多变量原函数的存在性（全微分方程） · 外微分的映射原像存在性（恰当形式） · 向量值函数 · 向量空间内的导数推广（加托导数 · 弗雷歇导数 · 矩阵的微积分） · 弱微分
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相关数学家 牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 魏尔斯特拉斯  · 黎曼 · 拉格朗日 · 欧拉 · 帕斯卡 · 海涅 · 巴罗 · 波尔查诺 · 狄利克雷 · 格林 · 斯托克斯 · 若尔当 · 达布 · 傅里叶 · 拉普拉斯 · 雅各布·伯努利 · 約翰·白努利 · 阿达马 · 麦克劳林 · 迪尼 · 沃利斯 · 费马 · 达朗贝尔 · 黑维塞 · 吉布斯 · 奥斯特罗格拉德斯基 · 刘维尔 · 棣莫弗 · 格雷果里 · 玛达瓦 · 婆什迦羅第二 · 阿涅西 · 阿基米德
历史名作 从无穷小量分析来理解曲线 · 分析学教程 · 无穷小分析引论 · 用无穷级数做数学分析 · 流形上的微积分 · 微积分学教程 · 纯数学教程 · 机械原理方法论
分支学科 实变函数论 · 複分析 · 傅里叶分析 · 变分法 · 特殊函数 · 动力系统 · 微分几何 · 微分代数 · 向量分析 · 分数微积分 · 玛里亚温微积分 · 随机分析 · 最优化 · 非标准分析

积分方程最基本的形式为第一类弗里德霍姆方程：

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

其中，${\displaystyle f}$和${\displaystyle K}$已知，${\displaystyle K}$又称核函数，${\displaystyle \phi }$为所求未知函数。积分上下限${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$为常量。

如未知函数同时出现在积分符号内外，则该方程称作第二类弗里德霍姆方程：

${\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

${\displaystyle \lambda }$作为未知因子，起到与线性代数中特征值类似的作用。

如果积分上限或下限为变量，则该方程称为伏尔泰拉方程。第一类和第二类伏尔泰拉方程有下述形式：

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

${\displaystyle \phi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,\phi (t)\,dt,}$

如果${\displaystyle f}$始终为${\displaystyle 0}$，以上所有方程称为齐次，否则，称为非齐次。