傅立叶变换家族中的关系

在数学领域的谐波分析中，连续傅里叶变换（continuous Fourier transform, CFT）与傅里叶级数（Fourier series, FS）有非常微妙的关系。而且连续傅里叶变换也与离散时间傅里叶变换（discrete time Fourier transform, DTFT）和离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）有很近的关系。傅里叶变换家族通常就是指这四种变换。

通过利用Dirac delta函数 $\delta (t)$ ，CFT可以应用到时间离散（time-discrete）或时间周期（time-periodic）信号。实际上，FS、 DTFT和DFT都可以由最广泛的CFT得到。从理论上看，它们也都是CFT的特殊情况。

在信号理论和数字信号处理（digital signal processing, DSP）中，DFT扩展用于近似计算连续信号的频谱，其变换的对象只是一个采样点的有限序列，而且可以由快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）实现。

家族中各个变换的定义

下表中左上、左下、右上和右下分别对应了傅里叶变换家族中CFT、FS、DTFT和DFT四个变换对的定义。

傅里叶变换家族中各种变换的定义
×	连续时间	离散时间
时间非周期	$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f)\ e^{i2\pi ft}\,df$	$x[n]=T_{s}\int _{1/T_{s}}{\bar {X}}(f)\ e^{i2\pi fnT_{s}}\ df$
-	$X(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\,dt$	${\bar {X}}(f)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x[n]\ e^{-i2\pi fnT_{s}}$
时间周期	${\bar {x}}(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\!X[k]\;e^{i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}$	$x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}\;e^{i{\frac {2\pi }{N}}kn},\quad n=0,\dots ,N-1.$
-	$X[k]={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}{\bar {x}}(t)\;e^{-i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}\,dt$	$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\;e^{-i{\frac {2\pi }{N}}kn},\quad k=0,\dots ,N-1.$

显然，上表是从时域信号的角度来划分的：表的列区分了连续时间和离散时间的信号，而表的行则区分了时间上非周期的信号和时间上周期的信号。其中重要的参量符号解释为：

$x[n]$ 和 $X[k]$ 都为无限序列，其采样间隔，即间隔时间和间隔频率分别为 $T_{s}$ 和 $f_{0}=1/T_{0}$ ；
${\bar {x}}(t)$ 和 ${\bar {X}}(f)$ 都为周期函数，且时间周期和频率周期分别为 $T_{0}$ 和 $f_{s}=1/T_{s}$ ；
$x_{n}$ 和 $X_{k}$ 都为有限序列，且序列长度都为 $N$ ；

关系推导所需的公式

前面表中的定义都可以通过Dirac delta函数 $\delta (t)$ 的扩展形式，即Dirac comb函数，由CFT引入或推导。为计算离散和/或周期信号的CFT，我们需要引入一些公式，并使用傅里叶变换的一些特性。以下集中给出：

1. Dirac comb函数的傅里叶变换

Dirac comb函数的定义为

\Delta _{T}(t){\stackrel {\text{def}}{=}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)

在电气工程中通常又称作冲击串（impulse train）或采样函数（sampling function）。其重要的傅里叶变换为：

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i{\frac {2\pi k}{T}}t}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi nTf}

这个变换在傅里叶变换家族中各个变换之间转换上起关键作用。

2. 傅里叶变换的卷积定理（convolution theorem）

这包括了傅里叶变换的时域卷积和频域卷积：

{\begin{aligned}x_{1}(t)\ast x_{2}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad X_{1}(f)\cdot X_{2}(f)\\x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad X_{1}(f)\ast X_{2}(f)\end{aligned}}

3. 泊松求和公式（Poisson summation formula）

由Dirac comb函数的傅里叶变换和卷积定理，容易证明泊松求和公式：

{\begin{aligned}1.\qquad &\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)e^{i{\frac {2\pi k}{T_{0}}}t}\\2.\qquad &\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)e^{-i2\pi nTf}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\end{aligned}}

若第1和第2公式中分别取 $t=0$ 和 $f=0$ ，得到相同等式：

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T}}\right)

这表明，傅里叶变换时时域函数 $x(t)$ 和频域函数 $X(f)$ 分别以 $T$ 和 $1/T$ 为间隔采样，则所有时域采样点的总和与所有频域采样点扩大 $1/T$ 的总和相等。

各种变换之间的关系

图 1. 此“立方体”图形表示了连续傅里叶变换、离散时间傅里叶变换、傅里叶级数和离散傅里叶变换之间的关系。

图中立方体包含了频域和时域两个平面上各种变换的关系，同时两平面相连的四个边则分别代表了CFT、FS、DTFT和DFT。其中参量符号与前面表中相同，另外增加：

${\tilde {X}}_{k}$ 为由FS和DTFT推导DFT得到的DFT'频域形式，与传统DFT的频域 $X_{k}$ 有关系： $X_{k}=T_{0}{\tilde {X}}_{k}$ ；
图中粗的双箭头（ $\leftrightarrow$ ）表示每个函数和其变换之间的联系；

总的说来，各种变换之间的转换是一个周期扩展或采样的过程：

如果时域进行周期扩展，则频域为采样；如果时域进行采样，则频域为周期扩展；
一个转换中，周期扩展的周期与采样的间隔有倒数关系；
频域的周期扩展或者采样，都有一个周期或采样间隔作系数；

这里的周期扩展就是与Dirac comb函数相卷积，而采样则是与Dirac comb函数相乘。

从CFT分别到FS和DTFT的转换都容易推导，下面具体说明FS和DTFT到DFT/DFT'转换的推导，最后说明连续FT与DFT/DFT'的关系。

由DTFT推导DFT

设DTFT，及对应的CFT为：

{\begin{aligned}x[n]&\quad {\stackrel {\mathcal {DTFT}}{\longleftrightarrow }}\quad {\bar {X}}(f)\\\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\bar {X}}(f)\end{aligned}}

在时域作周期为 $T_{0}$ 的扩展，有:

{\begin{aligned}&\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)\ast \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT_{0})\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT)\cdot \delta (t-nT-iNT)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iNT)\right)\delta (t-nT)\end{aligned}}

其中代入了 $T_{0}=NT$ ，而由于 $n$ 和 $i$ 的求和区间都为 $-\infty$ 到 $\infty$ ，可以用 $n-iN$ 代替 $n$ 得到最后一步推导。取：

{\begin{aligned}x_{n}&=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iNT)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x[n-iN]\\&=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0})\end{aligned}}

在频域作带系数 $1/T_{0}$ 且间隔也为 $1/T_{0}$ 的采样，有：

{\begin{aligned}&{\bar {X}}(f)\cdot {\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\right)\cdot \left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\frac {i}{T}}\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\end{aligned}}

取：

{\tilde {X}}_{k}={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)={\frac {1}{T_{0}}}{\bar {X}}\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)

由FS推导DFT

设FS，及对应的CFT为：

{\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {FS}}{\longleftrightarrow }}\quad X[k]\\{\bar {x}}(t)&\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad \sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right).\end{aligned}}

在时域作间隔为 $T$ 采样，有：

{\begin{aligned}&{\bar {x}}(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t-nT_{0})\right)\cdot \left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(t-iT_{0})\cdot \delta (t-nT)\right)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0})\right)\cdot \delta (t-nT)\end{aligned}}

取：

x_{n}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0})={\bar {x}}(nT)

在频域作带系数 $1/T$ 且周期也为 $1/T$ 扩展，有：

{\begin{aligned}&\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }X[k]\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\right)\ast \left({\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T}}\right)\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {iN}{T_{0}}}\right)\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k-iN}{T_{0}}}\right)\right)\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)\end{aligned}}

其中也代入了 $T_{0}=NT$ ，而由于 $k$ 和 $i$ 的求和区间都为 $-\infty$ 到 $\infty$ ，可用 $k-iN$ 替代 $k$ 得到最后一步推导。取：

{\begin{aligned}{\tilde {X}}_{k}&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k-iN}{T_{0}}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X[k-iN]\\&={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)\end{aligned}}

CFT与DFT的关系

前面FS到DFT和DTFT到DFT的推导都得到相同的 $x_{n}$ 和 ${\tilde {X}}_{k}$ 。这里的 $x_{n}$ 和 ${\tilde {X}}_{k}$ 可看作一种DFT变换对，有关系：

{\begin{aligned}{\tilde {X}}_{k}&={\frac {1}{T_{0}}}\sum \limits _{n=0}^{N-1}\ x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}kn}\\x_{n}&=T\sum \limits _{k=0}^{N-1}\ {\tilde {X}}_{k}e^{{\frac {2\pi i}{N}}kn}\end{aligned}}

记为：

x_{n}\quad {\stackrel {\mathcal {DFT'}}{\longleftrightarrow }}\quad {\tilde {X}}_{k}

对比传统DFT变换对的 $x_{n}$ 和 $X_{k}$ ，显然有：

X_{k}=T_{0}{\tilde {X}}_{k}.

这一对变换的等式右边系数的乘积为 $T/T_{0}=1/N$ ，符合我们在DFT中的说明，因而完全可以将这里的DFT'看作传统DFT的另一种变换形式。

而由前面转换的推导过程可得到：

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}\cdot \delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\begin{matrix}\displaystyle {\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\tilde {X}}_{k}\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)}\\\displaystyle {={\frac {1}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X_{k}\cdot \delta \left(f-{\frac {k}{T_{0}}}\right)}\end{matrix}}

为一对CFT，其中要求 $T_{0}=NT$ 。加之如果 $x(t){\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}X(f)$ ，则有：

x_{n}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }x(nT-iT_{0}){\begin{matrix}\displaystyle {\quad {\stackrel {\mathcal {DFT'}}{\longleftrightarrow }}\quad {\tilde {X}}_{k}={\frac {1}{T_{0}T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)}\\\displaystyle {\quad {\stackrel {\mathcal {DFT}}{\longleftrightarrow }}\quad X_{k}={\frac {1}{T}}\sum _{i=-\infty }^{\infty }X\left({\frac {k}{T_{0}}}-{\frac {i}{T}}\right)}\end{matrix}}

其中可以任选 $T_{0}$ 和 $T$ 。这样就建立了CFT和DFT之间的双向关系。但应注意到，此时我们已经将DFT'和DFT都做了周期拓展，即 $n,k\in \mathbb {Z}$ 。

参看

参考文献

Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R., (1999). Discrete-time signal processing, Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall. ISBN 0137549202
Sklar, B., (2001). Digital Communications: Foundamentals and Applicatons, 2nd Edition, Prentice Hall PTR. ISBN 0130847887

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