高斯光束

对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 ${\displaystyle w_{0}}$，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 ${\displaystyle \lambda }$ 的光波的腰斑位置在 ${\displaystyle z}$ 轴上的分布为

${\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}\ .}$

这里将 ${\displaystyle z=0}$ 定义为束腰的位置。

${\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}}$

被称为瑞利距离。

与束腰轴向距离等于瑞利距离 ${\displaystyle z_{R}}$ 处的束宽为

${\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}.\,}$

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。

${\displaystyle b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}\ .}$

${\displaystyle R(z)}$ 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数

${\displaystyle R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]\ .}$

当 ${\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }}$，参数 ${\displaystyle w(z)}$ 与 ${\displaystyle z}$ 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于

${\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} ).}$

在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为

${\displaystyle \Theta =2\theta \ .}$

由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用[1]。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 ${\displaystyle 2\lambda /\pi }$ 的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 ${\displaystyle w_{0}}$ 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M²”。高斯光束的 M² 值为1，而所有的是激光束的 M² 值均大于1，并且质量越好的激光的 M² 值越接近1。

光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为

${\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ .}$

当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 ${\displaystyle e^{-ikz}}$ 外，多出一个额外的 Gouy 相移 ${\displaystyle \pi }$。

可以通过复数形式的光束参数 ${\displaystyle q(z)}$ 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，

${\displaystyle q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }\ .}$

倒数 ${\displaystyle 1/q(z)}$ 显式提供了 ${\displaystyle q(z)}$，${\displaystyle w(z)}$ 与 ${\displaystyle R(z)}$ 间的关系：

${\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)}.}$

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数 ${\displaystyle q}$，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

${\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right).}$

在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式

${\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z),}$

对于圆对称的普遍情况，${\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}}$ 且${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$，可以得出[2]

${\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right).}$

流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为

${\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]\ ,}$

这里

${\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}}$ 为电磁波传播的总能量

流经以 ${\displaystyle r=w(z)\,}$ 为半径的圆的能量占总能量的比值为

${\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ .}$

类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 ${\displaystyle r=1.07\cdot w(z)\,}$ 的圆形面积，总能量的95%通过 ${\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,}$ 的圆形面积，总能量的99%会通过 ${\displaystyle r=1.52\cdot w(z)}$ 的圆。

在与束腰的轴向距离为 ${\displaystyle z}$ 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值

${\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.}$

可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 ${\displaystyle w(z)}$ 的圆的面积。